| 研究成果の概要 |
有限正則CW複体に対しては, 離散モース理論というモース理論の類似が成り立つことが1990年代から知られていたが, 本研究では, まずその理論を小圏の分類空間を用いて精密化した。具体的には, まず有限正則CW複体 X 上の離散モース関数fに対し, Formanによる離散勾配ベクトル場の概念を一般化する f のflow pathという概念を導入した。そして f の臨界胞体を対象とし, flow pathを射とする小圏 C(f) を構成した。この小圏の射の集合には順序関係が定義され, それによって C(f) は2圏になる。主結果は, 元の X がその分類空間として復元できることである。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究は, 連続あるいは滑らかな対象を離散的対象で置き換えることにより, 組み合せ論的手法を適用できるようにする, という大きな研究の流れの一部と考えることができる。本研究の主結果は, Morse理論の離散化に関することであるが, 元になったMorse理論として, Cohen-Jones-SegalによるFloer理論への応用を念頭に置いて導入されたものを用いている。その完全な離散化が得られると同時に, 勾配ベクトル場の離散化としてFormanが提案したものよりずっと精密なものが得られた。この手法は, 今後, 様々な離散化に応用できることが期待される。
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