Isogeny的ホモトピー論とその幾何および導来代数幾何への応用

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04872
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 名古屋工業大学
• 研究代表者: 南 範彦 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (80166090)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: 代数幾何 / モチビックホモトピー論 / ホモトピー論 / 高次単線織性 / 高次ファノ多様体

研究成果の概要

古典的(安定)ホモトピー論は，その幾何的考察を多項式の共通零点と多項式写像に特化した，代数幾何のMorel-Voevodsky A1-(安定)ホモトピー論に完全に含まれてしまうことが判明しました．代数幾何のA1-(安定)ホモトピー論においても古典的(安定)ホモトピー論のHopkins-Smithのような階層構造を探す試みの中，高次単線織構造に関係する階層構造に関する，予期せぬ大変興味深い結果を得ました．ここで高次単線織構造とは，大雑把にいって考察している代数幾何的対象の各点を何本かの独立した直線を通す構造で，曲面で各点を通る直線が必ず(一本）有るものは線織面と呼ばれ，建築にも見られるものです．

自由記述の分野

(モチビック)ホモトピー論

研究成果の学術的意義や社会的意義

考察の対象が複雑な場合，適当な同値関係を導入して考察の対象を簡単なものにすることは，日常生活でも良く行います．このような操作を抽象的に研究するのがホモトピー論ですが，より直観的な幾何的に展開しても納得できる意味で同値であることがGrothendieck,Kanらにより知られています．そして，Hopkins-Smithらにより，幾何的対象の客観的データを与えるコホモロジー論というものを用いて，更なる同一視を要請した安定ホモトピー論において，有る階層構造が得られました．本研究は，このような古典的ホモトピー論を含むA1(安定)ホモトピー論への大域的性質への応用と，代数幾何自身への応用が期待されます．