研究課題/領域番号 |
15K04883
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研究機関 | 同志社大学 |
研究代表者 |
河野 明 同志社大学, 理工学部, 教授 (00093237)
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研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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キーワード | ゲージ群 / ファイバー束 / 位相群 / ホモトピー型 / Samelson積 / 単純リー群 |
研究実績の概要 |
ゲージ群とは主束の自己同型がなす位相群であり、その名前はゲージ理論に由来するが、変換群としての研究はファイバー束の研究の創始期までさかのぼる。ゲージ群を研究する際の手法は大まかにふたつに分けられる。ひとつは主束の随伴束を用いたファイバーワイズトポロジー的手法によるもので、もうひとつはゲージ群の分類空間がある写像空間と同一視されることを用いた写像空間の評価ファイブレーションによるものである。これら二つの手法は主束の構造群である位相群(多くの場合はリー群)の性質をゲージ群に還元する際にもっとも効果的である。 ゲージ群の研究においてもっとも重要なのは、空間Xと位相群Gを固定するとき、X上の主G束すべてを考えることで、対応するゲージ群の族を得るが、この族内での様々な同値類(ホモトピー型や位相型など)による分類である。ホモトピー型による分類は特に盛んに行われており、近年ではその拡張として、An型による分類など、高次ホモトピー構造まで考えられている。本課題ではコンパクトリー群を構造群としてもつ主束に付随するゲージ群のホモトピー型による分類を目的としている。この分類においてリー群の積構造、特に、交換子であるSamelson積が重要な役割を果たす。本年度は非単連結なリー群に付随するゲージ群の研究に着手した。単連結な場合に比べて非単連結な場合は格段に複雑である。例えば、非単連結な単純リー群はホモトピーベキ零でない。非単連結な場合の先行結果はSO(3)に関するものしかないので、本年度はPU(3)とPSp(2)の場合について、非単連結リー群のmod p 分解に関する岸本大祐氏(京都大)との共同研究の結果を用いて研究し、ホモトピー型による分類結果を得た。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非単連結なリー群を構造群としてもつ主束のゲージ群のホモトピー型による分類に着手した。先行結果であるSO(3)の場合はその構造の単純さから、Adamsによる射影空間のKO理論の決定と特殊な議論により比較的簡単に分類結果が得られたが、リー群の階数が上がるとこのような議論は使えない。そこで、岸本大祐氏(京都大)との共同研究により得られた非単連結リー群のmod p 分解を用いて研究を進めることにした。これにより、関連するSamelson積の決定がPU(3)とPSp(2)の場合は可能になり、付随するゲージ群のホモトピー型による分類に成功した。この手法はより高階のリー群にも適用できるものであり、今後の研究の大まかな方針もたった。これらのことから、現在の研究の進捗状況はおおむね順調に進展していると判断した。
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今後の研究の推進方策 |
今後は非単連結な古典群に付随するゲージ群のホモトピー型の分類と例外型リー群F4に付随するゲージ群の分類を行う。
これら二つの場合に重要なのは、関連するSamelson積の決定である。古典型の場合は階数を無限大にすることでK理論と関連づけることができ、これによりSamelson積を解析する。これは非安定K理論と呼ばれる手法で、これまでも非常に有効であった。したがって、今後も非安定K理論を用いて研究を行う。例外型の場合は当然古典型のようなシリーズはないので、K理論のように可換なものと比較することにより、Samelson積を決定することは不可能である。しかし、F4の場合は比較的大きなE7、E8という例外型リー群のある部分群の中心化群に含まれているため、この可換性を利用することでSamelson積の決定につながると期待される。今後はE7、E8を用いたF4のSamelson積の決定に関する基礎理論を構築し、その応用としてゲージ群の分類を行う。
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次年度使用額が生じた理由 |
今年度の使用内容は、ホモトピー論シンポジュームなどの研究集会に出席するための海外と国内、それぞれ1回ずつの出張旅費である。今年度の使用計画に沿った支出である。
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次年度使用額の使用計画 |
今年度と同様、研究集会等に出席する出張旅費に充てる。物品や図書の購入に充てる予定はない。
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