| 研究課題/領域番号 |
15K04885
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| 研究機関 | 防衛大学校（総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工 |
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研究代表者 |
知念 直紹 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工, その他部局等, 教授 (20370067)
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| 研究分担者 |
保坂 哲也 静岡大学, 理学部, 准教授 (50344908)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 幾何学的群論 / 連続体理論 / CAT(0)空間 / ユーリッド空間 / 対称積 / 等長群 / リプシッツ同値 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、幾何学的群論において重要な群である無限CAT(0)群の研究である。CAT(0)群の幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的性質あるいは Gromovが提案したCoarse的な性質の研究である。当該年度はNovikov予想に関連があるasymptotic次元の有限性の研究に従事した。9月に実施された京都大学での研究集会と3月に実施された岡山理科大学の研究集会において、Osajdaの最新の論文のモンスター群を解析した。また、3月に実施された早稲田大学での研究集会において、愛媛大学の山内氏よる無限asymptotic次元を持つモンスター的な空間の解析を実施した。
CAT(0)空間の基礎的あるいは代表的な空間はユークリッド空間であるので、ユークリッド空間の無限等長群を研究することは無限CAT(0)群を研究することにおいて重要である。ユークリッド空間の等長群からユークリッド空間の有限対称積の等長群への自然な単射な準同型写像が存在するが、その準同型が全射、すなわち同型であることを示した。これは、M.BorovikovaとZ.IbragimovとH.Yousefiによって2010年に出された予想を肯定的に解決し、さらに高次元も含んでいる結果となっている。さらに、ユークリッド空間の有限対称積とリプシッツ同値な距離空間を構成し、2次元ユークリッド空間の2-対称積は4次元ユークリッド空間とリプシッツ同値であることを示した。M.BorovikovaとZ.Ibragimovによって示された1次元ユークリッド空間の3-対称積は3次元ユークリッド空間とリプシッツ同値性を、体系的かつ簡素に示した。この結果を2015年11月に中国のMinnan Normal Universityで開催されたトポロジーおよび応用に関する第1回環太平洋国際会議において発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
本研究目的の１つである、CAT(0)群の幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的次元の有限性については、平成27年度計画の通りに実行したが、ほとんど成果・進展を得ることができなかったので、研究の打開を図るべき新しい方向性を探り、Novikov予想と関連あるasymptotic次元の有限性あるいは無限性の研究を行い、上述の否定的な結果を導くための一筋の方法としてOsajdaの最新の結果で用いられたランダムグラフの手法の研究を行った。
本研究のもう１つの目的である、CAT(0)群であるコクセター群が幾何的に作用するCAT(0)空間の理想境界の研究おいて、平成27年度計画の知られている理想境界が2次元局所1連結コンパクト距離空間となる双曲直角コクセター群の構成の考察の研究が遅れている。そのため理想境界が高次元位相的普遍空間となるCAT(0)群の構成に関する研究についてはほとんど進展がみられないが、ランダムグラフの手法の活用し上述の構成の研究を進めつつ、最初の目的と同様求めるコクセター群の存在性の証明を考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度研究したモンスター群あるいは空間を足がかりにして、次年度は有限生成離散群が幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的次元の有限性ついて研究を実施する。特に、CAT(0)空間のHigsonコンパクト化の剰余の位相的次元、すなわちHigsonコロナの位相的次元とそのCAT(0)空間のasymptotic次元との関係性を調べる。否定的な結果を導く群あるいは空間の存在を示すために、Osajdaの最新の結果で用いられたランダムグラフの手法を解読する。また、そのような群あるいは空間の構成をコクセター群に応用し、高次元コンパクトメンガー普遍空間を境界として持つCAT(0)群の存在の証明を試み、理想境界が2次元局所1連結コンパクト距離空間となる双曲直角コクセター群の構成の考察を行う。上述の推進方策を実行するために、引き続きCAT(0)群とCAT(0)空間の構成について静岡大学の保坂哲也氏と主に共同研究を行い、CAT(0)空間の位相的次元とasymptotic次元については早稲田大学の小山晃氏と主に共同研究を行う。また、早稲田大学幾何学セミナーにおいて、群や局所有限無限グラフあるいは位相空間のCoarse的性質に関して最新の結果を理解し活用していく。また、ランダムグラフについて、研究集会等においてグラフ理論の研究者と議論を重ねつつ理解を深めていく。
ヒルベルト空間へのCoarse的な埋め込みはNovikov予想と深い関係があることが知られている。よって、よく知られているヒルベルト空間の一般化した1/p乗根のノルムをもつ空間の等長群を調べることは重要である。そのために、この等長群とこのノルム空間の有限対称積の等長群との差を今年度同様に調べる。また、有限生成離散群が幾何的に局所有限無限グラフ上に作用するので、局所有限無限グラフ上の等長群とその空間の有限対称積の等長群との差についても調べる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
6月下旬の海外の研究集会「Dubrovnik VIII - Geometric Topology, Geometric Group Theory & Dynamical Systems」に参加するため海外出張を計画していたが、準備が間に合わず、キャンセルしたために次年度使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
京都大学数理研究所で実施される研究集会「集合論的・幾何学的トポロジーとその応用」に参加するための旅費に充てる計画にしている。
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