| 研究実績の概要 |
2018年度の目標として，無限ルベーグ空間に作用する保存的かつエルゴード的な非可逆保測変換は，局所コンパクトカントール集合上の狭義エルゴード的な連続全射として，測度論的に同型表現されることを証明しようと試みた．その証明のもとになるアイデアとして，A.Rosenthal（Israel J. Math.,1988）と本研究代表者（J. Anal. Math.，2013）を念頭に置いた．前者は，非可逆エルゴード的確率保測変換はカントール集合上の狭義エルゴード的連続全射に測度論的に同型表現できることを示した．まずこの論文を精査することから研究を始めた．その証明の困難さは，可逆の場合と異なり，全空間を張る角谷-ロホリンタワーの存在を望めないことや，それに代わるテクニックとして，任意に小さい部分を除いた箇所に単一のタワー（いわゆるロホリンタワー）の存在は望めるが，なおも排反なコラムに分けられないこと，などにあると究明することができた．さらには，ロホリンタワー外での軌道の振る舞いを制御するために「一様性」という概念をロホリンタワーに持ち込んでいることも重要であった．これらを踏まえ，無限ルベーグ空間の保測変換の場合にも，同様な手法でロホリンタワーを構成しようと試みたが，全測度が無限大であることが根本的な障害として現れた．また，考えるべき「一様性」としてどのようなものが最適なのかも未解決である．今後は，上述の本研究代表者の成果と合わせて，上に挙げた目標を肯定的に解決したい．
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