| 研究課題/領域番号 |
15K04918
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| 研究機関 | 筑波技術大学 |
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研究代表者 |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Morrey空間 / 加重付ノルム不等式 / Fefferman-Stein型不等式 |
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| 研究実績の概要 |
Morrey空間は，関数の局所的なregularityをLebesgue空間よりも定量的に精密に記述できる関数空間です．Adams, Xiaoは，近年，このMorreyノルムの新たな一つの定式化を与えました．この新たな視点により，既存のMorreyノルムによっては取り出すことのできなかった関数の局所的な増大度・減少度を荷重を通して支配することができます．
28年度は，この手法に依拠して，分数積分作用素・分数最大作用素に対する荷重付ノルム不等式の研究を進め，特にべき型の動径的荷重について，不等式成立のための必要十分条件を与えることに成功しました．分数最大作用素は分数積分作用素より簡単な構造を持ちます．この分数最大作用素について，対応する加重付ノルム不等式成立のための必要条件・十分条件を与え，それらをべき型の動径的荷重に対して適用することで，不等式成立のための必要十分条件を与えることに成功しました．分数積分作用素については，この結果を用いて，一つの比較定理を示すことにより特徴づけを与えています． Fefferman-Stein型の不等式は，基本的な荷重付ノルム不等式の一つです．
28年度は，Kakeya最大作用素とHardy-Littlewoodの最大作用素との合成による新たな形のf-S型荷重付ノルム不等式の研究を進めました．この研究の一つの系として，強最大作用素に対するF-Sの荷重付ノルム不等式が成立します．この関連から，強最大作用素に対するF-S型荷重付ノルム不等式についての研究に着手しました．特に困難なend-point評価について調べ，２次元において，新たな不等式の成立を確認しました．３次元以上の場合には次元による困難さが現れ，現在その克服に向けて考察を進めています．さらに分数強最大作用素についても調べ，いくつかの結果を得ることができました．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究課題第２年次の目標は，Morrey空間上で分数積分作用素，分数最大作用素，特異積分作用素等に対する加重付ノルム不等式の研究を展開し，特にべき型の動径的加重について，不等式成立のための必要十分条件を明らかにすることでした．これらの目標のうち，分数積分作用素，分数最大作用素については，完全に達成されました．残された特異積分作用素については，近年の研究により，スパースな２進立方体の族を用いた正作用素に対する加重の理論を展開すべきことが分かっており，次年度以降への課題となっています．
Feffer-Stein型荷重付ノルム不等式の研究は，本研究課題に提示したKakeya最大関数の概直交性に関する研究とは直截の関係を未だ見出せずにいます．しかし，この不等式の研究は，作用素の振る舞いを荷重を通して理解する一つの手立てを与えるものであり，興味深いものです．本年に着手した，いくつかの作用素の合成によるこの不等式の研究は，ある意味で偶然的に認識されたテーマです．研究を進めて行くと強作用素について調べる必要が生まれ，そこにおいていくつかの知見を得ることができ，さらなる進展が期待されます．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究を引き続き継続して行く一方で，前年度に確立したWolffポテンシャルを反復して用いるn重線形埋蔵定理の応用もしくは簡易化への努力をしたいと思います．
また，Fefferman-Stein型荷重付ノルム不等式を視点において，既知の結果を改めて見直してみるという作業を進めたいと思います．それはこの視点に立つことで加重の理論の新たな一つの理解につながるものであると考えます．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予定していたPC等の購入を見送ったために繰り越し金が発生しました．これは次年度に執行予定です．
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| 次年度使用額の使用計画 |
PC購入
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