| 研究課題/領域番号 |
15K04922
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
稲浜 譲 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80431998)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ラフパス理論 / 確率微分方程式 / 特異確率偏微分方程式 / マリアヴァン解析 / 漸近展開 |
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| 研究実績の概要 |
本年度はラフパス理論の研究と、その派生である特異な確率偏微分方程式の研究を半々ぐらいの割合で同時に行った。
ラフパス理論に関しては共著者である谷口説男氏と劣楕円型の作用素から決まる劣リーマン多様体上の熱半群のトレースの漸近展開をマリアヴァン解析を用いて研究した。まだ完成はしていないが、ほぼ完成の目処は立っており、２、３ヶ月以内に発表できると思っている。この論文は高信(1988)によるその種の熱核に対する対角型の短時間漸近展開に基づいていて、かなり深い議論が行われる。ラフパス理論を本格的に使ったわけではないが、証明の中で中心的な役割を果たす自由ベキ零群上の拡散過程というのが、ラフパス理論にでてくるブラウニアン・ラフパスという確率過程とほぼ同じであり、ラフパスの研究で培った知識が役にたった。特異な確率偏微分方程式に関しては共著者である星野壮登氏と永沼伸顕氏の協力のおかげもあり、初めて論文を書くことができ、目出度くこの話題に参入できた。書いた論文の研究対象は空間３次元の場合に時空間白色雑音で駆動される複素ギンズブルグ・ランダウ方程式であり、証明した内容は時間局所解の存在および適切性である。この種の方程式は雑音の性質が悪すぎるために通常の方法では解けなかったが、３年ぐらい前より正則性構造理論(regularity structure theory)とパラ制御理論(para-controlled calculus)と呼ばれる２種類の理論が発明されて、解析できるようになった。今回の共著でも、この２通りの手法で方程式を解いた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
順調に研究が進んでいるので、特に問題はない。予想外のトラブルも起きなかった。実は昨年度は特異な確率偏微分方程式という話題に参入して、初めて論文を書いた。この話題はいままでやってきたラフパス理論の派生とはいえ別の理論であるので、やはりかなりの努力を要したが、共著者の協力もありなんとか形になったので、一安心している。いったん参入できてしまえば、同じ話題でさらに論文が書ける可能性はかなり高いので、このままの方向で努力を続ける予定である。もちろんラフパス理論の研究もこのまま続ける。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究題目のキーワードに掲げた二つのうち、ラフパス理論に関してはマリアヴァン解析との融合でまだまだ問題はあると思うので、このまま続けるつもりである。二つ目の特異な確率偏微分方程式に関しては、今年度初めて論文が書けたことで、いっきに理解が深まり、この話題を広く見渡せるようになった。その結果、新しい話題だけに実にいろいろな問題が存在していることが見えてきたので、実はチャンスが来たような気がしている。したがって、今年もこの路線に力でそそぐつもりである。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新年度にドイツへの海外出張が予定されているため、その支出を考えて約７万円ほど繰り越した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
ドイツでの研究会への出張費用の足しにする。
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