| 研究課題/領域番号 |
15K04922
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
稲浜 譲 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80431998)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ラフパス理論 / 得意な確率偏微分方程式 / マリアヴァン解析 / 擬制御解析 / 漸近展開 |
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| 研究実績の概要 |
今年度の前半は確率微分方程式を使って劣リーマン幾何の問題をとくことができた。おもな道具はマリアヴァン解析であり、さらにラフパス理論は直接は使っていないものの、その考え方を使った。解いた問題を説明する。スペクトル幾何においては、多様体の幾何学的な情報がどのようにラプラシアンなどの微分作用素のスペクトルに反映されるか、というのが基本的な問題意識である。その分野ではラプラシアンから決まる熱半群の跡（トレース）の短時間の漸近挙動を調べるというのが長い伝統を持つ非常に重要な定理である。
筆者が共著者の谷口節男氏と行った研究はいわばこの定理の劣リーマン幾何版である。劣リーマン幾何の枠組みでは、熱核の解析が難しくて簡単にはわからないので、今まではCR多様体などのいい状況でしかわかっていなかったが、この研究でいっきに"equiregular劣リーマン多様体"という非常に広いクラスの多様体のときにも解決できた。
また後半には白色ノイズ付きの準地衡流方程式を時間局所的に解く研究を行った。これは白色ノイズの挙動が悪すぎるために、通常の意味では解の意味がつかない。よって、研究テーマに掲げた得意な確率偏微分方程式というクラスに属する。筆者はこのモデル時間局所的な適切性を澤野嘉宏氏と共に行った。主にGubinelli-Imkeller-Perkowskiが発明した擬制御解析(paracontrolled calculus)という非常に実解析的な手法を使った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の前半は確率微分方程式を使って劣リーマン幾何の問題をとくことができた。おもな道具はマリアヴァン解析であり、さらにラフパス理論は使っていないが、その考え方を使った。
また後半には、白色ノイズ付きの準地衡流方程式を時間局所的に解く研究を行った。
未発表だがすでにほぼ完成している。この方程式は白色ノイズの挙動が悪すぎるので、筆者が研究テーマに掲げた特異な確率偏微分方程式というクラスに属する。
一年間にかなり重いテーマで２本論文を書けたのは思っていた以上の進捗だといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
特に問題もなく順調に進んでいるので、このままの方針で推進する。しいて言えば、今年度からはラフパス理論よりも特異な確率偏微分方程式の研究にあてる時間を多めにとり、若手研究者との共同研究の割合を増やそうと思っている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
一昨年度から繰り越した金額が多少あったためと、今年度にかなり大きな海外出張が計画されているため。
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