| 研究課題/領域番号 |
15K04923
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| 研究機関 | 愛知教育大学 |
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研究代表者 |
佐久間 紀佳 愛知教育大学, 教育学部, 講師 (70610187)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | デンマーク / 自由確率論 / 無限分解可能分布 / レヴィ過程 / ランダム行列 / 単峰性 |
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| 研究実績の概要 |
平成２７年度は下記の研究を論文としてまとめて投稿した。
１ 本研究課題と非常に関連の深い前研究課題「自由確率論に動機をもつランダム行列の研究 」の時に構想を練っていた「Unimodality for free Levy processes」について北海道大学の長谷部高広氏と論文としてまとめ、投稿した。その結果確率論の専門誌であるAnnales de l'Institut Henri Poincare (B) Probabilites et Statistiquesに掲載予定となった。
２ 本研究課題の中の一つ目の問題である作用素値複合ポアソン分布の研究の第一歩としてレヴィヒンチン型公式を扱うための公式を導いた。「A formula for the R-transform and S-transform operator valued free probability」としてまとめ、統計数理研究所共同研究リポート352「無限分解可能過程に関連する諸問題(20)」に掲載された。
３ 自由確率論のランダム行列への新しい応用を見出した。京都大学のBenoit Collins氏と北海道大学の長谷部高広氏とともに論文「Free probability for purely discrete eigenvalues of random matrices」としてまとめ投稿した。
４ これらについて日本数学会、確率論シンポジウムなどの研究会で発表を行った。またAarhus大学で行われた研究会「AARHUS CONFERENCE ON PROBABILITY, STATISTICS AND THEIR APPLICATIONS」でポスター発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究課題の研究計画で述べてきたことはほぼ計画通りのペースで行われている。
「A formula for the R-transform and S-transform operator valued free probability」は研究計画の第一歩の部分、すなわち複合ポアソン分布の作用素値版の研究のための解析的道具の準備ができたと言って良い。 これをもとに組合せ論的な結果しかない現在の状況から解析的道具による特徴付けが与えられそうである。他方、単純にスカラー値の場合をまねて形式的に計算することは難しいこともわかった。
また前研究課題をまとめている部分では予定よりも詳細な結果が得られ、単峰か否かを具体的に判断するための方法として自己分解可能性の判定法を作ることなどのあたらしい問題も見つかった。とくに単峰性についての問題についてはWolfeによるJurekクラスの分布から構成されるレヴィ過程の単峰性の結果のような古典的な結果の類似を示し、さらに相違点の発見までたどり着いた。
また本研究課題に取り組む中で得られた「Free probability for purely discrete eigenvalues of random matrices」は自由確率論の新しいランダム行列への応用を示唆しており、研究計画を立てている中では予想できなかった結果であった。京都大学のブノワコリンズ氏、長谷部高広氏と継続的に議論を続けてきた成果だと思う。
まとめると、予定通り研究計画を進行できているということ＋副産物を得られた、という意味で計画以上に進展していると言えると思う。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は本研究計画に述べたことのみならず、初年度に得られた結果についても着手していく必要がある。したがって効率よく個々の問題にあたっていく必要があるだろう。そのための方策を以下で示す。
今後の国内外の研究会やワークショップでの発表や研究打ち合わせをどこでいつ発表するかを少し修正する必要があると思う。
とくに自由無限分解可能分布に関する結果が出ているので、レヴィ過程に関する国際会議Levy2016に参加するのではなく、成果により近い研究者が多く参加するポーランドで来年度開催される「17th WORKSHOP: NON-COMMUTATIVE PROBABILITY」に参加することに予定を変更する。実際、前年度まとめた結果「Unimodality for free Levy processes」に関連する研究者（自由確率論における無限分解可能分布に興味がある研究者）が多くいる上、「Free probability for purely discrete eigenvalues of random matrices」に関するランダム行列に関連する自由確率論の研究をしている研究者も参加する予定であるので、昨年度の研究結果を両方議論できる貴重な機会になると思う。またこの研究会には研究計画に訪問予定と述べていた作用素値複合ポアソン分布の組合せ論的な研究をしていたSpeicher氏が参加するので、この研究会で一度議論をしようと考えている。
またランダム行列への応用例「Free probability for purely discrete eigenvalues of random matrices」が得られたので、予定より京都大学や北海道大学への出張を増やし、この研究のさらなる発展を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
大学業務等の兼ね合いで、当初予定していたお茶の水女子大学への出張の回数が予定より少なくなったことおよびメキシコCIMATへの出張を本年度は見合わせたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
お茶の水女子、メキシコCIMATの訪問については今年度及び次年度で現在進行している研究成果がまとまったタイミング（いまのところ来年度末と予想している）に時期を変更することにする。
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