| 研究課題/領域番号 |
15K04926
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| 研究機関 | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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研究代表者 |
瀬戸 道生 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30398953)
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| 研究分担者 |
須田 庄 愛知教育大学, 教育学部, 講師 (30710206)
細川 卓也 茨城大学, 工学部, 准教授 (90553579)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 再生核ヒルベルト空間 / グラフ / 擬直交分解 |
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| 研究実績の概要 |
平成２９年度の研究実績は以下の通りである。
１．グラフの増大列を関数解析学的に扱う方法を考察した。グラフラプラシアンから標準的な方法で再生核ヒルベルト空間を構成することができる。特に、頂点集合を共通とするグラフの増大列には再生核ヒルベルト空間の縮小的な埋め込みの列が対応する。ここに de Branges-Rovnyak が開発し、Vasyunin-Nikolskii により整備された擬直交分解の理論を適用できる。これが本研究の主たるアイデアである。その結果、例えば、グラフの増大列における連結成分の増え方に関するある不等式を線型代数的な次元評価により導くことができる。また、二つのグラフに包含関係がある場合、その間を連続的に埋めることにより、擬直交分解の連続版である擬直交積分の理論を適用できる。それにより、対応する二つのグラフラプラシアンに関する自明な不等式を、グラフの自己同型群の情報を含んだ形式で改良することができる。ここで得られたラプラシアンの不等式は、関数解析学的にはベッセルの不等式に相当する素性の良いものであるが、グラフ理論的に何を意味するかはまだ不明であり、現在も研究を継続中である。なお、この不等式には擬直交分解を用いない証明もある。
２．１で述べた成果は論文としてまとめ専門誌に投稿、現在査読中である。また、本研究は関数解析学とグラフ理論とを横断するものであるため、複数の研究集会で研究発表を行った。例えば、関数解析学関連では「等距離写像理論と保存問題の多様な視点からの研究」（京都大学数理解析研究所）、グラフ理論関連では「離散数学とその応用研究集会2017」（熊本大学）、日本数学会応用数学分科会（東京大学）等で研究発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」で述べたように、本研究の発案当初から構想していた「擬直交分解の理論のグラフ理論への応用」はほぼ達成することができた。しかしながら、２９年度に得られた結果にグラフ理論的な解釈を与えるという点ではまだ課題が残っているため、現在までの進捗状況としては「おおむね順調に進展している」と考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
２９年度の研究で得られた結果（グラフラプラシアンに対する不等式）のグラフ理論的意味を解読する。特に、自己同型群が計算できる具体的な場合に数値実験を取り入れた考察をする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究課題申請時、研究代表者は島根大学に所属しており、松江市を出発地として国内旅費を算定した。しかし、研究代表者が平成27年10月に防衛大学校に異動したことにより、実際の国内旅費使用額が想定を大きく下回った。それが平成27年度下半期、平成28年度、平成29年度と積み重なり、最終的に今回の次年度使用額として残った。この次年度使用額は専門書の購入と研究発表のための国内旅費として使用する予定である。
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