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楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、多様体上の微分幾何学やグラフ上の解析学、電気流動学や弾性学などへの幅広い応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
Musielak-Orlicz-Morrey空間における極大作用素の有界性、non-doubling測度空間の２つの変動指数をもつOrlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するTrudingerの指数積分不等式や連続性について成果を得た。
距離空間の一様領域上のMusielak-Orlicz空間における単調なソボレフ関数の境界極限値に関する成果を得た。
距離空間の一般化されたMorrey空間やnon-doubling測度空間のOrlicz-Morrey空間に属する関数の一般化された分数冪積分作用素の有界性に関する成果を得た。
変動指数をもつMorrey空間に属する関数の一般化されたリースポテンシャルの原点の近くでの球面平均の極限値、重み付きの変動指数をもつルベーグ空間に属する関数のリースポテンシャルの球面の近くでの球面平均の極限値に関する成果を得た。non-homogeneous central Herz-Morrey-Musielak-Orlicz空間の双対性に関する成果を得た。
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