| 研究課題/領域番号 |
15K04931
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
谷口 説男 九州大学, 基幹教育院, 教授 (70155208)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | サブラプラシアン / CR多様体 / 確率微分方程式 / マリアヴァン解析 |
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| 研究実績の概要 |
CR多様体上にイールズ－エルウォーシー－マリアヴァンの手法を用いて，コーン－ロシ・ラプラシンの実部として得られるサブラプラシアン△により生成される拡散過程を複素主バンドル上の確率微分方程式を利用して構成した．この成果をまとめ日本数学会誌に投稿した論文の改訂を行い，最終的に掲載が決定した．
上記の構成法とマリアヴァン解析を融合し，さらにCR多様体のハイゼンベルグ群に基づく局所座標を利用してサブラプラシアンに△により生成される拡散過程の遷移密度関数の対角線上での短時間漸近展開を証明した．この際に，ハイゼンベルグ群上の自然な準楕円作用素Lの摂動として得られる２階微分作用素に付随する拡散過程の遷移密度関数を作用素Lから作らる拡散過程を用いてマリアヴァン解析により一般化された期待値として表記する方法を新たに開発した．前段の構成法とあわせて，研究集会「確率論と幾何学」で成果発表を行った．
九州大学数理学研究院稲浜教授との共同研究を開始した．これにより，サブラプラシアンの典型例である準楕円型ヘルマンダー作用素により生成される拡散過程の滑らかな写像による像として得られる確率過程について，その密度関数の非対角線上での短時間漸近挙動について，確率解析的手法により漸近展開公式を確立した．このために，多様体に値をとるウィナー汎関数に対するマリアヴァン解析理論を整備し直した．ラフパス理論とマリアヴァン解析を組み合わせることにより，これまでのウィナー汎関数の不連続性に起因する困難点を克服し，より明瞭な形で漸近展開へと至る理論展開を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
CR多様体上で拡散過程の構成，遷移密度関数の対角線上での短時間漸近展開を確立した．さらに，一般のサブラプラシアンへと研究を展開しつつある．
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| 今後の研究の推進方策 |
サブラプラシアンに付随する主バンドルの構成とそれに基づくイールズ－エルウォーシー－マリアヴァン型の拡散過程の構成を見出す．
さらにそれに基づく熱核解析を行う．
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