| 研究課題/領域番号 |
15K04937
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| 研究機関 | 工学院大学 |
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研究代表者 |
熊ノ郷 直人 工学院大学, 情報学部, 教授 (40296778)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 経路積分 / 関数方程式 / 関数解析学 / 数理物理 / 擬微分作用素 / 振動積分 / フーリエ積分作用素 / 確率解析 |
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| 研究実績の概要 |
経路積分はシュレディンガー方程式の解の表現として時間分割近似法で定義されたのが始まりである。研究代表者はこれまで擬微分作用素の理論で開発された手法を時間分割近似法に適用して、経路積分を定式化してきた。本研究課題は、様々な擬微分作用素に時間分割近似法を適用して、経路空間上の解析の世界を切り拓くこと、また同時に、これまで定式化してきた経路積分の理論の整備と成果発表を進め、見直すことで、様々な形の経路積分の構成に生かすことを目的とする。今年度は、前年度開発した環状型で変数係数の高階放物型擬微分作用素に対する時間分割近似法の多重積分を扱う方法を検討し、時間分割近似法を見直していくうちに、ユークリッド型で変数係数の高階放物型擬微分作用素に対する相空間経路積分の時間分割近似法が広義一様収束し、しかも経路に関する様々な演算に関して閉じる可能性のある汎関数の仮定に気づいた。計画段階では、高階放物型擬微分作用素の場合、広義一様収束を示す際の漸近展開のため尺度関数のオーダーが上がったり下がったりする仮定にする必要があり、収束するための仮定があまり多くの演算に関して閉じることは期待できないと思っていたため、この仮定に期待している。次年度は、この仮定で相空間経路積分を定義していき、この相空間経路積分で、どのような演算が可能かを検討していく予定である。成果発表としては、１０月に京都大学数理解析研究所と広島大学、１１月にピアザ淡海、３月に名古屋大学の研究集会（後述）で偏微分方程式の研究者に、さらに２月にオランダのローレンツセンターでの物理の経路積分の研究集会（後述）で、物理の研究者に相空間経路積分の理論を紹介できた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計画段階では、変数係数の高階放物型擬微分作用素に対する相空間経路積分の場合、時間分割近似法の広義一様収束を示す際の漸近展開で尺度関数のオーダーが上がったり下がったりする必要があるため、時間分割近似法が広義一様収束する汎関数の仮定は、和や積の演算以外、あまり多くの演算が期待できないと思っていた。しかし、時間分割近似法が広義一様収束するだけではなく、経路に関する演算などに関しても閉じている可能性の高い汎関数の仮定に気づいた。不確定性原理と絡むため、左連続性や右連続性など細かい性質まで戻って慎重に証明して確認する必要はあるが、この仮定に期待していて、順調に進展していると思う。成果発表については、国内の偏微分方程式の研究集会で４回、さらに海外で物理研究者の経路積分の研究集会で、私の相空間経路は積分の理論を紹介することができ、満足している。ただ大学業務との関係で、８月に海外で研究活動ができなかった点が残念である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、今年度、発見した多くの演算に関して閉じている可能性の高い、この汎関数の仮定で最初まで戻って、変数係数の高階放物型方程式に対応する相空間経路積分の時間分割近似法の広義一様収束を証明していき、同時に、この相空間経路積分で、経路空間上の解析として、積分に類似した様々な性質がどこまで証明できるか調べていく予定である。その際、不確定性原理があるため、左連続性や右連続性など細かい部分まで慎重に計算して確認する必要があるため、擬微分作用素や経路積分に詳しい研究者と研究連絡を取って研究を進める予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
大学業務との関係で、８月に海外で研究活動できなかったことによる。
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| 次年度使用額の使用計画 |
国際会議や研究集会での調査、研究連絡や成果発表の旅費として用いる予定であるが、大学業務との関係で研究連絡や調査に行けなくなった場合、研究連絡や調査の機会を補うため、研究者の招へいなど謝金として用いる予定である。
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