| 研究課題/領域番号 |
15K04956
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
大鍛治 隆司 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20160426)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | ベッセル関数 / トレース定理 / 極限吸収原理 / ディラック作用素 |
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| 研究実績の概要 |
研究代表者大鍛治隆司は、Hubert Kalf氏(ミュンヘン大学)・ 山田修宣氏(立命館大学)との共同研究において、ベッセル関数Jνに関するある種の積分の次数νによらない一様評価を確立することが出来た。ベッセル関数は数理物理学のいろいろな分野に現れる極めて重要な関数であり、その積分に関連する研究も古くから多くの人々によりなされてきている。それにもかかわらず、我々の得た一様評価はいままでにない新しい結果であり、証明も非常に初等的である。このベッセル積分の応用の一つとして、全空間上のソボレフ空間において球面へ制限して得られるトレース作用素の評価式を球面の半径に依存しない形で求めることが出来る。従来の方法ではある抽象的補間法を用いるのであるが、今回それを用いずにトレース作用素の具体的な一様評価を構築できたことはその応用上も重要である。具体的には、数理物理学における最も重要な作用素であるシュレーディンガー作用素H=-△やディラック作用素H=α・ｐ+mβ（m≧0）に対する一様な極限吸収原理に関する研究がある。ここでいう一様極限吸収原理とは、そのレゾルベント1/(H-z)についてｚが実軸を除いた複素平面内の閾値(連続スペクトルの境界点: 即ちz=0[シュレディンガー]やz=+m, -m[ディラック])を含む領域内において実軸に近づいた時の重み付き一様評価のことである。
今後はより広いクラスの作用素や評価式の重み関数(複素位相)としてより広い範囲のものを考えることにより、この知見のさらなる応用が期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
重み付き評価式である極限吸収原理を示す際の基礎となる球面上へのトレース作用素の一様評価を初等的に導けたので、これによりさらなる発展が見込まれるため。なお土台となるベッセル関数に関する積分評価式の結果は現在投稿中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
種々の方程式に対する重み付き不等式を通じて、そのスペクトル問題や逆問題について複素位相法の観点から考察を行い、より広いクラスの重み付き不等式の開発推進に取り組んでゆく。
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