| 研究課題/領域番号 |
15K04959
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
伊藤 宏 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 教授 (90243005)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 関数解析 / 数理物理 / 関数方程式 |
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| 研究実績の概要 |
現在までに得られた結果をまとめる。
(1) 光速をパラメータとしてもつパウリ作用素の平方根で定義される作用素に，各々遠方で正の無限大および負の無限大に発散するポテンシャルを加えた２つの作用素を考える。ポテンシャルに伸張解析性を仮定する。まず，筆者と連携研究者の論文（J. Math. Soc. Japan, 2010) で証明された定理を用いて，これらのスペクトル構造を決定した。１つの作用素は，離散固有値からなり，もう一方の作用素は実数全体がスペクトルとなっている。次に，後者の作用素のレゾナンスの非存在領域を得ること，および，適当な条件のもと，埋め込まれた固有値が存在しないことを証明した。尚，非存在領域は，ある種のポテンシャルでは，ほぼ最良の結果である。最後に，光速を無限大にする非相対論的極限を考えた。２つの作用素は，非相対論的極限においては，あるパウリ作用素に近づくことが証明され，考えている作用素の固有値やレゾナンスは各々対応するパウリ作用素の固有値やレゾナンスに収束することが示された。
(2) 遠方で無限大に発散ポテンシャルをもつディラック作用素を考えた。ポテンシャルに伸張解析性を仮定する。スペクトルの性質，レゾナンスの非存在領域，非相対論的極限について調べた。FW変換と呼ばれる変換を用いることで，その主要部は，(1) で現れた２つの作用素を用いて記述できるが，さらに詳しい解析が必要である。(1)で用いた定理を利用して，スペクトルが実数全体であることを証明した。さらに，numerical range を詳しく解析することで，レゾナンスの非存在領域を得た。次に，光速を大きくすることで，あるパウリ作用素の固有値の近傍にレゾナンスが存在すること，別のパウリ作用素のレゾナンスの近傍にもレゾナンスが存在することを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
遠方で発散する解析的な電磁ポテンシャルをもつディラック作用素について，スペクトル構造，レゾナンスの非存在領域，非相対論的極限（光速を無限大にする極限）を調べることが目的である。特に，磁場と電場の発散の度合いにそれらは大きく影響すると予想をしている。現在のところ，磁場ポテンシャルに有界性が必要である。FW変換を用いて，２つの相対論的パウリ作用素からなる主要部と摂動部分に分けて，議論を行っている。平成２８年度の研究において，相対論的パウリ作用素のレゾナンスの非存在領域に進展があった。その結果を用いることで，ディラック作用素のその領域についても新しい結果が得られた。それらの結果は，平成２７年度の段階では予想していなかったものである。その他の内容についても，平成２７年度時点より，精密化が行われている。遠方で発散する電場ポテンシャルと有界な磁場ポテンシャルの場合は，これが１つの到達点であるということから，２つのプレプリントにまとめた。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究代表者は，連携研究者（山田修宣（立命館大学），田村英男（岡山大学），岩塚明（京都工芸繊維大学），野村祐司（兵庫県立大学），峯拓矢（京都工芸繊維大学），安藤和典（愛媛大学））と研究連絡を行いながら，研究を進めていく。特に，「作用素論セミナ－」（京都大学），「解析セミナー」（愛媛大学），「夏の作用素論シンポジウム」，「超局所解析と古典解析」，RIMS共同研究，日本数学会などの研究集会において，情報収集および研究連絡を行う。また，平成２９年度に開催される「Tosio Kato Centennial Coference」などの国際研究集会に出席して，最先端の情報を得ることに努める。必要に応じて，連携研究者を集めて小さな研究会を開催することも考えている。さらに，ノートパソコンやタブレットなどの情報機器を用いて効率的な研究連絡や効果的なプレゼンテーションを行うように努める。
電場ポテンシャルと磁場ポテンシャルがともに非有界な場合に，相対論的パウリ作用素およびディラック作用素のスペクトル構造，レゾナンスの非存在領域，非相対論的極限（光速を無限大にする極限）を調べることが１つの目的である。また，光速が十分大きいときのディラック作用素のレゾナンスは，２つの相対論的パウリ作用素のレゾナンスの近くで見つかっている。光速があまり大きくないときには，２つの作用素の相互作用によってまったく別のところにレゾナンスが現れるのではないかと予想される。今後の研究では，これら２つのことを詳しく調べていくつもりである。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
１．いくつかの研究集会に出席する予定であったが，都合により出席することができなかった。また，連携研究者を愛媛大学に来てもらい研究連絡を行うことにしていたが，先方のスケジュールの関係で実施することが出来なかった。
２．デスクトップパソコンとともに情報交換やプレゼンテーションなどのためにタブレット端末かノートパソコンなどを購入する計画だったが，デスクトップパソコンは購入したが，研究に適当なタブレット端末等が入手出来なかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
１．最終年度であるので，積極的に研究集会に出席し，情報収集や連携研究者との研究連絡，それに発表を行う。可能なら連携研究者と小規模な研究会を開催し，研究の総括を行う。それらのために旅費を必要とする。
２．出来るだけ発表の機会を作る。それまでの早い時期に研究発表や情報交換に用いることの出来るタブレット端末等を購入する。
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