| 研究課題/領域番号 |
15K04960
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| 研究機関 | 兵庫県立大学 |
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研究代表者 |
野村 祐司 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (40282818)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | シュレーディンガー作用素 / スペクトル / Aharonov-Bohm磁場 / 埋め込まれた固有値 / Persistent集合 |
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| 研究実績の概要 |
d-次元格子およびr-正則無限ツリー上の有限なポテンシャルを持つ離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数の表示式を証明した論文「On the number of discrete eigenvalues of a discrete Schroedinger operator with a finitely supported potential」がLett.Math.Phys.に掲載された。ここで得られた表示式をさらに発展させることに成功した。またその表示公式も援用しつつ、連続スペクトルに埋め込まれた固有値をもつポテンシャルの集合（Persistent集合）を決定するという逆問題に関する研究を進展させており、「第23回超局所解析と古典解析」、「愛媛大学スペクトル・散乱セミナー」および「岡山-広島 解析・確率論セミナー2017」でその部分的な結果を発表した。
2次元ユークリッド平面上の位置と磁束についてランダムなAharonov-Bohm磁場を持つシュレーディンガー作用素のスペクトルに関する論文「Schroedinger operators with random \delta magnetic fields」がAnn. Henri. Poincareに掲載された。具体的な内容について述べる。まず、スペクトル集合を決定した。さらにそのスペクトルの下端における状態密度関数の漸近挙動、いわゆるLifshitz tail と呼ばれる評価を証明した。磁場に関しては、デルタ磁場のサポートのランダムな位置や磁束の条件についてある程度弱い条件のもとで証明することができた。この現象はAnderson局在という特異なスペクトルに関係していると考えられており、さら研究を推進していく予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
d-次元格子および、r-正則無限ツリー上の離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数に関する論文の専門雑誌Lett. Math. Phys.への掲載、およびランダムAharonov-Bohm磁場のLifshitz tailに関する論文の専門雑誌Ann. Henri. Poincareへの掲載がなされたことが一つ目の理由である。
次に、d-次元格子上の離散シュレーディンガー作用素の連続スペクトルへ埋め込まれた固有値の逆問題、即ちPersistent集合に関する研究が進展中であり、部分的な結果を「第23回超局所解析と古典解析」、「愛媛大学スペクトル・散乱セミナー」、「岡山-広島 解析・確率論セミナー2017」等のいくつかの研究集会で発表することができたことが二つ目の理由である。
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| 今後の研究の推進方策 |
d-次元格子上の有限なポテンシャルを持つ離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数の表示式を、以前論文で発表したものから改良することができた。これも援用しつつ、連続スペクトルに埋め込まれた固有値を持つシュレーディンガー作用素のポテンシャルに関する逆問題の研究を推進していく予定である。特に逆問題から決まるPersistent集合の幾何的構造の探求、およびその幾何的構造と元のシュレーディンガー作用素のスペクトルとの関係を調べていく研究を進展させていきたい。
2次元ユークリッド空間における磁場付シュレーディンガー作用素のレゾルベントのスペクトル下端における挙動および時間の入ったシュレーディンガー方程式の解の減衰についても研究をしていく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末に予定していた出張が、学内行事のために行えなかったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
旅費または物品費として適正に使用する計画である。
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