周期的およびランダムな磁場付きシュレディンガー作用素のスペクトル

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04960
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 数学解析
• 研究機関: 兵庫県立大学
• 研究代表者: 野村 祐司 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (40282818)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: シュレディンガー作用素 / スペクトル / 埋蔵固有値 / 閾値レゾナンス / 双曲型閾値 / Lifshitz tail / ランダムAharonov-Bohm磁場

研究成果の概要

d次元格子および正則無限ツリー上の有限ポテンシャルをもつ離散シュレディンガー作用素の固有値の個数を明示する公式を示した。連続スペクトルの中に埋込まれた固有値、閾値レゾナンスをもつポテンシャルの全体の集合（Persistent多様体）を決定し、その幾何構造と元の作用素のスペクトルとの相互関係についての研究をした。
一般のポテンシャルの場合の閾値レゾナンス関数の漸近挙動と連続スペクトル内にある双曲的閾値レゾナンスの存在性、および極限吸収原理の成立について証明した。
2次元ユークリッド平面状のランダムなAharonov-Bohm磁場をもつシュレディンガー作用素のLifshitz tail を示した。

自由記述の分野

関数解析学

研究成果の学術的意義や社会的意義

シュレディンガー作用素は、量子力学におけるもっとも基本的な作用素であり、そのスペクトルを調べることは数学のみならず、物理的にも非常に重要である。特に離散グラフ上のシュレディンガー作用素は、カーボンナノチューブやトポロジカル絶縁体とも密接に関係しており、そのスペクトルの解明は他方面の応用も期待される。特にレゾナンスの精密な挙動や、離散シュレディンガー作用素は特有の双曲型閾値の研究は未解明なことも多く、これに関する結果は重要なものと思われる。