p調和写像流の単調性評価と正則性特異性の研究

2017 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04962
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2018-03-31
• キーワード: p調和写像 / p調和方程式 / 退化特異楕円型 / p調和写像流 / 退化特異放物型 / 正則性特異性

研究実績の概要

二つの滑らかなコンパクトリーマン多様体の間の写像に対して, その一階導関数のp乗積分(p>1), pエネルギー, を考える. その臨界関数(Euler Lagrange方程式の解)をp調和写像, またその勾配流をp調和写像流とよぶ. これらは,(時間発展) p調和方程式系, とくに, 非線形退化特異楕円型(放物型)2階偏微分方程式系の解として定まる.
1. p>2の場合に, ほとんど最良の時空スケール関係にある局所スケールエネルギーの有界性のもと, p調和写像流のエネルギー有界な解に対して新しい先験的正則性評価を証明した. このために, p調和写像流の解に対してほとんど最良の時空スケール関係にある局所スケールエネルギーの単調性評価を構築した. また, 以上の先験的正則性評価によって, pエネルギー有界な滑らかなp調和写像流のコンパクト性, とくに極限写像がp調和写像流の部分的正則な弱解であることを証明し, 極限写像の特異点集合の大きさをハウスドルフ測度によってほとんど最良に評価した(前年度平成29年度実施報告書にも記載, 雑誌論文参照最初の2つ). 2. p>2場合に, 滑らかなコンパクト多様体上大きいpエネルギーの初期値に対するp調和写像流の初期値問題の弱解の時間大域存在とその部分的正則性を証明した(論文投稿準備中). 3. p調和写像に関連するある新しい退化特異型エネルギーに対する熱流のとくに球面に値をとる弱解の時間大域存在を証明した(雑誌論文参照3つ目).

研究成果

• [雑誌論文] Regularity for the evolution of p-harmonic maps (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 雑誌名: J. Differential Equations 巻: 264 ページ: 1716-1749
  • DOI: 10.1016/j.jde2017.10.006
  • 査読あり
• [雑誌論文] Global existence for the heat flow of symphonic maps into spheres (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa, Nobumitsu Nakauchi
  • 雑誌名: Advance in Differential Equations 巻: accepted for publication ページ: 38. pp
  • 査読あり
• [雑誌論文] Local regularity and compactness for the p-harmonic map heat flows (2017)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 雑誌名: Adv. Calc. Var. 巻: 64 ページ: Web掲載, 33. pp
  • DOI: 10. 1515/acv-2016-0064
  • 査読あり
• [学会発表] Global existence and regularity for the p-harmonic flow (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: Conference on 'Metrics and Measures', Tohoku Univeristy, 2018/1/8-12
  • 招待講演
• [学会発表] Regularity for a doubly nonlinear parabolic equation and its application (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: Matuyama kaiseki seminar 2018, Ehime University
  • 招待講演
• [学会発表] A doubly nonlinear degenerate and singular parabolic equation and a geometric flow (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: Workshop, Critical exponent and nonlinear evolution equations 2018, Tokyo University of Science
  • 招待講演
• [学会発表] Monotonicity estimate and global existence for the p-harmonic flow (2018)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: RIMS Conference, 2018/2/5-8, Kyoto
  • 招待講演
• [学会発表] Regularity theory for nonlinear degenerate and singular parabolic systems and uts application to geometric flows (2017)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: Functional Analysis and Partial Differential Equations, 2017 CIMPA-MONGOLIA research school, Cetre International de Mathematiques Pures et Appliquees, Khovd University, Mongolia, 2017/7/17-28
  • 招待講演
• [学会発表] Global existence and partial regularity for the p-harmonic flow (2017)
  • 著者名/発表者名: Masashi Misawa
  • 学会等名: Free Boundary Problems and Nonlinear PDEs, Hokkaido University, 2017/9/26-28
  • 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] Regularity, singularity and long time behavior for partial differential equations with conservation laws, RIMS conference, 2017/6/7-9, Kyoto (2017)