| 研究課題/領域番号 |
15K04965
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| 研究機関 | 大阪府立大学 |
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研究代表者 |
壁谷 喜継 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 球面上のラプラス作用素 / 逆二次のポテンシャル / ハーディの不等式 |
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| 研究実績の概要 |
平成30年度は、Doob の h-transform を用いると平坦でない空間上の楕円型方程式となるような、逆二次の特異性をもつポテンシャル関数つきの楕円型方程式と、球面上の大きな帯状領域での固有値問題の研究を行った。前者については、逆二次の項は Hardy の不等式の立場からしても、正値解を得るためにはぎりぎりのものであることが知られており、扱いが難しいものである。しかしながら、ポテンシャル関数のもつ特異性をうまく除去して解を構成することができることを発見した。特に、時間発展問題の挙動を解明するために定常状態の解の性質が必要となっているが、定常解を用いることで時間発展問題の解の時間大域的挙動に関する結果の一部は、東京大学の石毛和弘氏、向井晨人氏と共著論文として、査読付き応分学術誌 Applicable Analysis に投稿し、掲載決定となった。
また、逆二次のポテンシャル関数付きの非線形問題に関しては現在、原稿としてまとめている段階であるが、2019年度中に投稿することを目指している。
また、帯状領域での固有値問題については、帯状領域を広げて球面全体を覆うような状況となるときの固有値の漸近分布を解析し、固有値の挙動と、領域の北極、南極への近づき方によって固有値の漸近挙動が異なることを解明した。この内容については、単著として査読付きの欧文学術誌の Discrete and Continuous Dynamical Systems に投稿した。現在は、掲載の可否の判断を待っている段階である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
球面上での特異解の解析において特異解の一意性が証明できる非線形べきと線型項のパラメータの範囲の十分条件は得られている。しかしながら、その範囲は十分広いとはいえず、一意性が成り立つ範囲を広げるべく検討をしているが解決には至っていないため。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で述べたように、現在進行中の、逆二次のポテンシャル関数付きの非線形楕円型問題に関しては、分岐の大域構造を解明して論文としてまとめ、投稿する。
また、球面上の非線形楕円型方程式については特異解の構造と、緯度と経度双方に依存する関数（非対称関数）が出てくるような不完全分岐について解明を行う。このための準備の固有値の分布などについては、平成30年度までに解明できているので、その結果を踏まえて、非対称関数を含むような分岐構造の解明を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
招待講演を依頼されていたチリでの国際研究集会が延期（開催時期未定）となったので、その部分の旅費等が未使用として残ったため。
2019年度に開催予定の国際会議等に出張し、また、追加の書籍を購入することを予定している。
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