平坦でない空間における楕円型偏微分方程式の解構造の解明

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04965
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 数学解析
• 研究機関: 大阪府立大学
• 研究代表者: 壁谷 喜継 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 楕円型偏微分方程式 / 分岐理論 / 球面 / Legendre の陪関数 / 逆二次のポテンシャル

研究成果の概要

球面に代表されるような、通常の三平方の定理が成り立たない領域（「平坦でない領域」という）での非線形楕円型偏微分方程式の解構造の解明を目標とした。平坦でない場合は、解構造の観点で、通常の領域での問題とどのような違いがあるのか解明することが主な目的である。
手始めに球面での帽子状領域での非線形楕円型偏微分方程式の解構造を調べ、平坦である場合での分岐点付近の解構造の違いを明らかにした。
また、平坦であっても方程式に逆二次の挙動をするポテンシャル項が付く線形放物型方程式の定常解の構造と時間大域的挙動を明らかにした。

自由記述の分野

函数方程式

研究成果の学術的意義や社会的意義

平坦でない空間での楕円型方程式の解構造の解明は、特に、球面上の偏微分方程式の解構造に関して、球面上のラプラス作用素の固有値の分布状況・多重度とユークリッド空間上の固有値の分布状況・多重度並びに解構造とは異なることを示した。このことは、地球上での大気の循環の変動による気象変動や、大洋表面の温度分布変化など、記述する方程式がこの研究で扱ったものとは異なるが、地球規模の現象の解析の基礎研究としての意義がある。これらの基礎研究は、近い将来、現象の解析への応用として役立つことがあると期待できる。