| 研究課題/領域番号 |
15K04975
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | グラフ / 本型埋め込み / 平面グラフ / 射影平面グラフ / グラフの連結度 |
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| 研究実績の概要 |
グラフの本型埋め込みに関する研究は，巨大集積回路設計（VLSI-design）など，工学への応用を動機としたものであり，1970年代から多くの研究者たちにより盛んに研究されてきた．グラフの本型埋め込みにおいて，各ページでは辺の交差が許されないため，グラフの本型埋め込み問題は自然に「グラフの平面への埋め込み可能性」に関係を持つ．本研究では，私たちが専門とする「グラフの平面や曲面への埋め込み可能性」に関する知見から，グラフの本型埋め込みに関する問題を解決しようというものである．
グラフの本型埋め込みについて，「どんな平面グラフも４ページ以下の本型埋め込みを持つ」という予想が知られているが，そのページ数の最良性に関しては結論が出ていない．ここまでの研究成果は１９７０年代までさかのぼるが，その後，この問題の解決に関する発展は見られない．私たちも平面グラフのページ数の問題の解決を目指して研究しているが，なかなか進展はない．しかしながら，曲面上のグラフを研究してゆく過程において，曲面上のグラフにはいろいろな分解定理があることがわかり，それらをうまく応用することにより，以下のように，曲面上のグラフの本型埋め込みの問題に対して結論を与えている．「１．向き付け可能な曲面上のグラフは７ページ埋め込み可能である」，「２．トーラス上の２部グラフは５ページ埋め込み可能である」，「３．射影平面上のグラフは９ページ埋め込み可能である」
本研究では，上の１，２，３の結果を拡張できないかについて研究を行っている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究を申請する段階で計画書に示した目標は半分程度は解決し，あとは難解な部分を残すのみである．その解決のための方向性を「今後の研究の推進方策」に示す．
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| 今後の研究の推進方策 |
平面的グラフのページ数の上界についての未解決問題は難しく，直ちにその解決には向かいにくい．今後の研究としては，これまでに得た「トーラス上の２部グラフの５ページ埋め込み」に関する結果と，「向き付け可能曲面の局所平面グラフの７ページ埋め込み」の結果を向き付け不可能曲面に拡張したいと考えている．しかしながら，本型埋め込みと「曲面の向き付け不可能性」はかなり相性が悪いため，それを克服するアイデアが必要となる．一方，種数１の向き付け不可能曲面（射影平面）については，射影平面三角形分割のうまい分解があり，その分解を用いることで，そのようなグラフの本型埋め込みを巧妙に構成することができる．これからの研究では，この２つをどのように組み合わせられるかを考察していくつもりである．
一方，前述の「射影平面グラフの分解」は．グラフの連結度を仮定することで，さらに巧妙な分解が得られそうなことがわかってきた．今後の研究としては，グラフに４ー連結性を仮定してページ数がどれくらい下がるか，さらに，５ー連結性を仮定してどのようになるかについて，具体的に考察を行う予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
多忙のために前年度に延期した海外出張を今年度に行う予定であったが，年度末に体調不良のために入院するに至り，さらに延期の必要が生じた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
海外出張を最終年度に持ち越すことにした．
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