| 研究課題/領域番号 |
15K04985
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| 研究機関 | 小山工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
佐藤 巌 小山工業高等専門学校, 一般科, 教授 (70154036)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | グラフ / ゼータ関数 / 量子ウォーク |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、グラフのゼータ関数の拡張と応用について、以下の結果を得た。
(1)四元数Grover行列を時間発展行列とする、グラフ上の離散時間量子ウォークを考え、グラフの第2種weightedゼータ関数の行列式表示を、四元数Grover行列のStudy行列式へ拡張して、四元数Grover行列の固有値を決定した。論文として、Quantum Information Processingに掲載された。
(2)グラフの四元数重みの第2種weightedゼータ関数を定式化して、Study行列式を用いた、橋本型、伊原型の行列式表示を与え、オイラー積を導いた。論文として、Linear Algebra Applicationsに掲載された。また、グラフの四元数重みの第1種weightedゼータ関数を定式化して、Study行列式を用いた、橋本型、伊原型の行列式表示、指数型母関数表示、オイラー積表示を与えた。論文として、Jouranal of Algebraic Combinatoricsに掲載された。
(2)グラフのBartholdiゼータ関数を拡張して、(n+1)変数の一般Bartholdi ゼータ関数を定義し、その行列式表示を求めた。また、グラフの正則被覆の一般Bartholdi ゼータ関数の分解公式と、グラフの一般Bartholdi L-関数の行列式表示を与え、グラフの正則被覆の一般Bartholdi ゼータ関数を、base graphの一般Bartholdi L-関数の積で表した。論文として、Linear Multilinear Algebraに掲載された。
(3)digraphのBartholdiゼータ関数の行列式表示のStark & Terrasの方法による、別証明を与えた。論文として、Graphs and Combinatoricsに掲載された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
グラフやdgraphのゼータ関数の拡張として、グラフの(n+1)変数のBartholdiゼータ関数を定式化して、その行列式表示を与えた。また、digraphの重み付きBartholdiゼータ関数の行列式表示の新たしいを導いた。
また、グラフやdigraphの非可環重みの非可環ゼータ関数の一つとして、グラフの四元数重みのゼータ関数を考え、グラフの四元数第1,2種weghtedゼータ関数を定義し、Studyを行列式を利用して、それの橋本型、伊原型行列式表示、オイラー積表示、指数型母関数表示を与えた。
さらに、量子ウォーク関連では、四元数Grover行列を時間発展行列とする、グラフ上の離散時間量子ウォークを考え、四元数Grover行列の固有値を決定した。
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| 今後の研究の推進方策 |
グラフの新しいcycleの概念を導入して確立して、グラフやdigraphの新しいゼータ関数を定式化して、その行列式表示を導く。また、グラフやdigraphの一般の非可環重みの非可環ゼータ関数を定式化する。グラフのmodifiedゼータ関数の素数定理、Chevotarevの定理、跡公式や、グラフの無限列に対するそれらの極の分布を与える。無限グラフのedgeゼータ関数や、measurable graphのIharaze-takannsuuグラフを、Bartholdiゼータ関数に拡張する。
PGL3(F)やPGSp(4,F) (Fは非アルキメデス的局所体)のBruhat-Tits buildingのIharaゼータ関数をBartholdiゼータ関数に一般化し、単体的複体のIharaゼータ関数を定式化する。
色々なグラフゼータを利用して、一般的な遷移行列を定義し、新しい量子ウォークを定式化して、それらの極限分布を模索する。また、量子グラフ関連では、量子グラフの散乱行列に関する行列式の種々の公式の別証明等、物理への応用を込めた、グラフゼータの新しい方向付けを考えたい。
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