| 研究課題/領域番号 |
15K04997
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| 研究機関 | 福井大学 |
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研究代表者 |
小原 敦美 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (90221168)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 情報幾何 / 統計多様体 / 共形平坦化 / 二重自己平行 / 統計モデル / 最適化 |
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| 研究実績の概要 |
情報幾何学では，リーマン計量について互いに双対的なアファイン接続のペアが様々な重要な働きを見せる．従ってこの二つの双対なアファイン接続に関して自己平行な部分多様体も様々なところに現れるが，ほとんど研究されていない．
一昨年度，対称錐と呼ばれる数学的対象についてその部分多様体が二重自己平行となる必要十分条件を求め，昨年度は応用上より重要な確率単体（離散確率分布集合）上の標準的な情報幾何構造から定まる二重自己平行な部分多様体の代数的な特徴付けによる必要十分条件と分類を与えた（参考文献：Doubly autoparallel ～参照）．今年度は，より一般的な統計多様体における二重自己平行部分多様体の構成法を，アファイン微分幾何の観点から考察を進めた．
一方，昨年度アファイン微分幾何の手法にもとづき，確率単体上の様々な情報幾何構造（アファイン埋め込みに依存する）を共形平坦化して得られる双対平坦構造を定めるポテンシャル関数や双対座標の公式を導出した．この際現れる共形ダイバージェンスを利用して，今年度は確率単体上の多数の点（確率）に対し，幾何的ダイバージェンスに関する重心の計算公式を導出した（参考文献：Conformal flattening ～参照）．多数のデータ（確率）の重心は，例えばパターンマッチングで重要な働きをするので，機械学習などの分野で応用の可能性がある．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
情報幾何構造の共形平坦化は本研究の主目的の一つであったが，確率単体に関してはおおむね満足のいく結果が得られた．またこれを用いて，もう一つの目的である数理・現象・計算技術への応用として，幾何的ダイバージェンスと呼ばれる乖離度に関するボロノイ線図の構築アルゴリズムと，これに加えて重心の計算公式も導けた．また連続確率モデルに対しても，海外研究者との共同研究により解決への手がかりが得られ，順調である．
また二重自己平行性に関しては，特殊ではあるが確率分布モデルである確率単体に関する結果が得られたことで，様々な応用への可能性を探りつつある．
よって，本計画の４年目としてはおおむね順調に進んでいると考える．
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| 今後の研究の推進方策 |
「共形平坦化」，「二重自己平行性」の概念をさらに広い多様体，特に多くの応用が見込まれる確率モデルに関して拡張してゆくことと，現在完成している確率単体上での各種（数理・現象・計算技術）への応用に関する研究を行ってゆく予定である．前者に関しては，連続変数の確率分布族や中心アファイン統計多様体と呼ばれるものへの研究を一層推し進める予定である．一方，後者に関しては，確率単体上の二重自己平行性に関して応用への可能性が実際に少しずつ明らかになってきているので，これらの一つ一つに関する応用研究を推進する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
事業最終年度に当該研究に関して新たな展開が開け，いくつかの補足的な研究結果が得られたので，今年度までの研究結果と併せて2019年度に学会参加・論文投稿などの活動を行うため．
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