| 研究課題/領域番号 |
15K05007
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| 研究機関 | 東邦大学 |
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研究代表者 |
木村 泰紀 東邦大学, 理学部, 教授 (20313447)
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| 研究分担者 |
高阪 史明 東海大学, 理学部, 准教授 (20434003)
佐藤 健治 玉川大学, 工学部, 教授 (70307164)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 解析学 / 非線形解析 / 凸解析 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、ヒルベルト空間やバナッハ空間に代表される、種々の関数空間において研究がなされている凸解析の理論を、完備測地距離空間において展開することである。今年度は、関数空間上の凸関数に対して定義されるリゾルベントという作用素を用いて、関数の最小点を近似する手法に関する研究をおこなった。
バナッハ空間上の凸関数に対する最小点近似の手法としては、近接点法というよく知られた手法があり、これはリゾルベント作用素を用いた弱収束定理として記述される。本研究における今年度に得られた成果の一つとして、この近接点法を完備測地空間、とくに曲率が正の上界をもつ空間に対して適用し、点列のデルタ収束性を証明することに成功した。デルタ収束はヒルベルト空間における弱収束に対応した概念であり、この結果は既知の近接点法を拡張した結果となっている。本定理の証明においては、昨年度の研究結果である、リゾルベント作用素の堅非拡大性に対する拡張概念や、写像の不動点と関数の最小点との関係などが重要な役割を果たしている。
さらに、リゾルベント作用素の非拡大性に注目することで、主に非拡大写像の不動点近似で用いられる手法であるMann型の近似列生成法や、点列の強収束が保証されているHalpern型近似点列の生成法についてもさまざまな知見が得られた。これらの最小点近似手法に関する結果の一部は既に研究論文として公開しており、それ以外の部分についても、部分的に口頭発表などをおこなっている。現在はこれらの成果をまとめて、研究論文として発表準備を進めている段階である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題が採択された当初の研究実施計画では、平成28年度に行う内容として「堅非拡大写像の研究」と「リゾルベントの一般化概念の研究」そして、「空間の可視化と計算機実験」が挙げられていた。これらのうち、堅非拡大写像については順調に研究が進み、従来は曲率上限が零の空間でのみ定義されていた堅非拡大性を曲率上限が正の空間に対してまで拡張することに成功した。この性質は、一見曲率上限が零の場合と比較するとまったく異なった定義のようであるが、実はマクローリン展開を用いた無限級数表示をすることで、曲率をパラメタとした同一の式であらわすことができることが判明した。さらに曲率について連続的に変化するものであることという知見も得られており、順調に研究が進展していることを示している。
一方、リゾルベントの一般化については、当初の計画とは若干異なる進捗状況にある。計画段階ではリゾルベントの定義を凸関数に対するものからより一般化した定義へと拡張することを想定していたが、実際にはそれよりも先に凸関数のリゾルベントを用いた最小点近似定理等の応用的な理論の進展が著しかった。これは、上記の堅非拡大写像の研究が順調に進展したことに伴うもので、リゾルベントの一般化概念の研究にも大きな関連がある。計画の段階では、近似理論等に関する研究は平成29年度に実施予定の内容の一部であった。当初の想定とは順序こそ入れ替わっているものの、進捗状況としては順調であると言
えるものである。
空間の可視化と計算機実験については、特に大きな進展はないが、これについては上記の2テーマを遂行する上で補助的な役割を果たすものであり、理論の構築が順調に進んだことによって計算機実験の必要がなくなったという背景もある。
以上の観点から、研究の総合的な進捗状況はおおむね順調であると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成28年度の研究において著しい進展のあった凸関数のリゾルベントを用いた最小点近似定理等の理論については、当初平成29年度の課題の一部であった。一定の進展は既にあるものの、未解決の課題も多く残されているため、平成29年度以降においても精力的に研究を遂行していく予定である。また、当初計画で平成28年度に実施予定であったリゾルベントの一般化概念に関する研究については、平成29年度に取り扱う予定である。
それ以外の研究計画は当初の予定通り実施する。すなわち、CAT(1)空間上の凸解析学に対する包括的な理論研究および具体的な問題の解法研究、とくに不動点理論の凸解析学への適用や、その他の非線形問題のCAT(1)空間上での解法研究を実施する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
中東諸国、とくにトルコの治安の悪化により、いくつかの国際会議への参加を見合わせたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
治安の問題が解決し次第、研究成果発表のための国際会議への参加を再検討する。状況が好転しない場合は国内での研究成果発表も検討する。
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