| 研究課題/領域番号 |
15K05007
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| 研究機関 | 東邦大学 |
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研究代表者 |
木村 泰紀 東邦大学, 理学部, 教授 (20313447)
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| 研究分担者 |
高阪 史明 東海大学, 理学部, 教授 (20434003)
佐藤 健治 玉川大学, 工学部, 教授 (70307164)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 解析学 / 非線形解析 / 凸解析 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は、種々の関数空間において研究がなされている凸解析の理論を、完備測地距離空間において展開することを目的としている。とくに, 空間上で定義された凸関数に対し、摂動関数を付加した上で一意に存在する点を用いることでリゾルベント作用素を定義し、リゾルベント作用素による関数の最小点近似法に関する研究をおこなう。さらに、この問題を中心に周辺の関連問題を考察することによって、完備測地距離空間上の凸解析学を網羅的にまとめることを目指す。
今年度は凸関数に対する最小点近似の手法としてよく知られている近接点法およびその関連手法についての研究成果が主たる実績として挙げられる。とくに、空間の曲率上界が正のものについて、昨年度より得られている知見をまとめ、論文として出版をした。さらに、この成果をもとに曲率上界が負のものに対しても類似の手法が適用可能であることを発見した。その後も曲率上界が負の空間における凸関数やリゾルベントの性質に関して多くの知見が得られており、これらをまとめることで有用な成果を得ることが期待できる。
また、周辺の研究として完備測地距離空間上の2変数関数に対する均衡問題の研究もすすめてきた。関数空間においては、凸関数と同様に均衡問題を考えるための2変数関数に対してもリゾルベント作用素は定義できるが、本研究では曲率上界が0の完備測地距離空間においてもある条件のもとでリゾルベント作用素が定義可能であることが示された。均衡問題は凸最小化問題を含む、より一般的な非線形問題として定式化されているため、これを測地距離空間上で考えることによりさらに有用な研究成果が得られることが期待されている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題における平成29年度の実施計画では、曲率上界が正の測地距離空間における凸解析学の包括的理論研究を開始することを予定しており、実際の研究においてもリゾルベントの基本的な性質や不動点理論との関連性の考察が進み、包括的な理論研究は順調に開始されたと考えられる。最小点近似の手法についても、デルタ収束や強収束等、各種の収束性を持つ複数の手法を提案することができた。
また、さらなる非線形問題の解法究明として、代表的な関数空間である回帰的バナッハ空間上で定義された非線形問題を測地距離空間上の問題に再設定し、その解の存在および解の近似法を提案することを計画していた。これについても、平成29年度の成果として、測地距離空間上の均衡問題のを設定し、その解の存在定理を示すことに成功した。以上を踏まえると研究の進捗は概ね順調であると考えらえる。
当初計画になかった研究の進展としては、曲率上界が負の測地距離空間に対する知見が多く得られたことが挙げられる。曲率上界が負の空間は、その定義から、曲率上界が0の空間に包含されることが分かるため、研究の計画段階ではさほど重要な研究対象ではないと考えられていた。しかし、研究が進展するにつれてその重要性を示唆する知見が数多く得られ、研究に値するものであると認識されるようになってきた。とくに、曲率上界をパラメタにすることによって、それぞれの空間で独立に得られてきた結果を統一して記述できることの可能性やその重要性が注目されてきており、本研究課題でも取り組むべき研究であること考えている。これについては来年度の研究計画および、本研究課題を継承する将来の研究においても主たるテーマとして扱いたい。
空間の可視化と計算機実験については、今年度も昨年度と同様に大きな進展はなかったが、研究全体が順調な進捗をしていることから、これらの補助的研究を利用する段階は過ぎたと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成29年度の研究において重要性が認識されるようになった、曲率上界が負の測地距離空間における凸解析学の定式化については、引き続き平成30年度の研究実施計画にも盛り込む予定である。また、この研究をもとに、曲率上界をパラメタとして考えることで、測地距離空間における凸解析の統一的な理論を構築していく考えである。また、測地距離空間上の均衡問題に関する研究についても興味深い結果がいくつか得られており、本研究課題との関連が非常に大きいことがわかってきている。これについても平成30年度の計画に盛り込んでいく考えである。
ただし、平成30年度は本研究課題の最終年度であるため、包括的理論の構築とともに、これまでの研究成果発表にも注力していく予定である。成果発表は主に国際会議での講演や学術誌への論文投稿の形で実施する。
また、上に挙げた、測地距離空間における凸解析のパラメタを用いた統一的理論構築など、本研究課題終了時点でも多くの興味深い問題が未解決のまま残ることになると予想される。残された課題については新たな研究課題として平成31年度以降に取り組む予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
中東諸国、特にトルコの治安悪化により、いくつかの国際会議への参加を見合わせたことにより次年度使用額が生じた。
治安の問題が解決し、当該国での国際会議で本研究課題の成果発表にふさわしいものが開催されれば参加を検討する。状況が好転しない場合や、ふさわしい国際会議の開催がない場合には他国および国内での成果発表に切り替えて使用する予定である。
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