| 研究課題/領域番号 |
15K05008
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| 研究機関 | 立教大学 |
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研究代表者 |
野呂 正行 立教大学, 理学部, 教授 (50332755)
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| 研究分担者 |
横山 和弘 立教大学, 理学部, 教授 (30333454)
篠原 直行 国立研究開発法人情報通信研究機構, サイバーセキュリティ研究所セキュリティ基盤研究室, 主任研究員 (70565986)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | グレブナー基底 / 有限体 / 暗号 / Wishart分布 / ホロノミック勾配法 / signature / F5 |
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| 研究実績の概要 |
1. signature を利用してグレブナー基底を高速に計算するアルゴリズムのうち, matrix-F5と呼ばれるタイプのアルゴリズムについて、立教大学に滞在中のこの分野の専門家Vaccon氏の全面的な協力を得て調査、研究、実装を行い、小規模ではあるが数値実験を行った。分担者横山が、Vaccon氏と共著で F5に関する論文をISSAC2017に投稿した。
2. 2014年度から2015年度にかけて、行列変数 1F1が満たす微分方程式の対角領域への制限を、簡約化ルールをロピタル則を用いて機械的に生成し、再帰的に用いることで36変数までのすべての対角領域パターンに対し計算できることを示した。この結果は国際会議ISSAC2016に受理され、発表することができた。また、この結果を含むWishart行列の最大固有値の分布関数を対角領域上で計算する Risa/Asir 上のパッケージn_wishartd.rr を公開した。さらに、同様の方法が行列変数 2F1が満たす微分方程式にも適用できることがわかり、Wishart行列の比の最大固有値の分布関数の計算も同パッケージで計算できるよう機能追加を行った。
3. グレブナー基底計算の高速化のためのモジュラー技法をまとめた論文を作成し、論文誌に投稿した。この中には、グレブナー基底候補が実際にグレブナー基底であることを保証するための最新の研究成果もいくつか含まれている。
4. モジュラー技法と並列化技法を用いて、楕円曲線間の同種写像に関する公式を与えるためのグレブナー基底計算を高速に計算するためのRisa/Asir パッケージ noro_grcrt.rr を開発した。
5. 研究協力者である青山氏（神戸大学大学院理学研究科）の、２項式イデアルの根基の素イデアル分解に関する結果がISSAC2017に受理された。7月にドイツで発表する予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
モジュラー技法よるグレブナー基底計算の高速化に関するこれまでの研究成果をまとめた論文を投稿することができた。ISSAC2016に受理された行列変数1F1の満たす方程式の対角領域への制限で用いた方法が、ほぼそのまま2F1に適用できることがわかり、計算できる対象が大きく広がった。matrix F5については、まだ目覚ましい高速化は達成できていないものの、懸案であった正当性の証明を含む論文を投稿することができた。2項式イデアルという特殊な例についてではあるが、目標の一つであるsaturationの高速化を含む研究成果が研究協力者により得られ、国際会議に受理された。
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| 今後の研究の推進方策 |
1. matrix F5 の調査、研究、実装を継続する。大規模実験を行い、できる限りの高速化の達成を目指す。
2. モジュラー技法のグレブナー基底計算の効率化に関して、特に有理関数体上の計算の効率化を目指して研究を継続する。
3. 同種写像の公式生成に関する論文を完成させ、投稿する。同種写像の研究に現れる各種のグレブナー基底計算の高速化をめざし、より広範囲の対象に対し、公式を生成する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
国際会議への参加旅費など、2016年度に使用を予定していた分を順調に使用したが、前年度の未使用分が残った。
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| 次年度使用額の使用計画 |
本年度は、研究分担者、共同研究者、研究協力者のための外国旅費が主たる使用目的となると考えている。他に、研究用図書、消耗品の購入を予定している。
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