|
放物螺旋格子を含む一般アルキメデス螺旋格子上のボロノイタイリングは、原点の近傍を除いて、六角形(蜂の巣型)タイリングである結晶粒と呼ばれる領域と、それらの境界である結晶粒界と呼ばれる部分によって構成されることを示した。結晶粒上のタイル張りにおいては3つの方向の螺旋(斜列)が見られ、結晶粒界において螺旋の本数(斜列係数)が変化する。結晶粒界上のタイルの形状は四角形に近く、その縦横比は、螺旋の回転角の連分数展開によって定まる。これは、アルキメデス螺旋格子の場合の結果を一般化したものである。
粘着性円板充填は、ひび割れの入った葉序螺旋の簡単な幾何学的モデルである。準斜列係数の概念を導入することによって、分岐図の簡明な構造が明らかになりつつある。
等面四面体を平面上で滑らないように転がすと、平面の三角形タイル張りが得られる。等面四面体上に一点を指定すると、平面上の格子点集合が定まる。これを母点集合とするボロノイタイリングは、四面体の展開図(cut locus)となっている。展開図は凸多角形であって、三角形、四角形、五角形、六角形のいずれかとなることがわかった。基準点を動かして多角形の変化を考えたときの分岐点集合において、三角形の垂心が重要な役割を果たすことがわかった。また、基準点から最も遠い点への対応を写像して考えると、最遠点写像の反復は収束する。
ビーズ多面体において測地線を考える。ビーズ正二十面体上の測地線は正二十面体上の閉測地線に対応し、逆に正二十面体上の閉測地線に対応してビーズ正二十面体が存在することがわかった。
|
