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2016 年度 実施状況報告書

パンルベ方程式の解に付随した特殊多項式の組合せ論

研究課題

研究課題/領域番号 15K13425
研究機関名古屋大学

研究代表者

岡田 聡一  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2018-03-31
キーワードPainleve方程式 / 対称関数 / 組合せ論
研究実績の概要

Painleve 方程式は新しい特殊関数の探求を動機として 19 世紀末に発見された 2 階常微分方程式であるが,現在では q-Painleve 方程式,楕円 Painleve 方程式などの一般化も導入されている.この研究では,これらの Painleve 型方程式の解のタウ関数として現れる特殊多項式(梅村多項式など)の組合せ論的構造を解析し,その組合せ論的構造の由来を明らかにすることを目標としている.
2016 年度は,Painleve 方程式がソリトン方程式の相似簡約として得られることに着目して,KP 階層のタウ関数と対称関数との関係から研究を進めた.執行,中屋敷との共同研究において,KP 階層のタウ関数で原点で 0 となるものを Schur 関数によって展開したときの展開係数が行列式で表されること,そしてこの行列式表示によって解が特徴づけられることを証明した.また,Sylvester の公式の一般化,Giambelli の公式の skew Schur 関数への一般化,およびその Pfaffian 版,Q 関数版を見出した.さらに,C 型ルート系に付随した Q 関数(Hall-Littlewood 関数において t=-1 としたもの)については,積に関する構造定数の正値性などのいくつかの予想を得るとともに,特別な場合を証明した.UC 階層に関連して,分割の対に対して定まる有理型 Q 関数の性質を明らかにした.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

KP 階層のタウ関数の研究を通じて,行列式に対する Plucker 関係式の Frobenius 表示を用いた定式化や,Sylvester の公式の一般化を得ることができた.これらの研究成果はさまざまな場面で応用できることが期待される.

今後の研究の推進方策

2016 年度の研究で得られた行列式,Pfaffian の公式の応用も視野に入れる.

次年度使用額が生じた理由

参加を予定していた研究集会の開催時期が重なりそのうちの1つにしか参加できなかったため.

次年度使用額の使用計画

共同研究者との研究打ち合わせを実施し,関連する研究集会に参加するための旅費として使用する.

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2017 2016

すべて 雑誌論文 (2件) (うちオープンアクセス 2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Symplectic Q-functions2017

    • 著者名/発表者名
      岡田 聡一
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録「リー型の組合せ論」

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中

    • オープンアクセス
  • [雑誌論文] Schur Q-functions and symplectic Q-functions2016

    • 著者名/発表者名
      岡田 聡一
    • 雑誌名

      2016 年度表現論シンポジウム講演集

      巻: - ページ: 111-132

    • オープンアクセス
  • [学会発表] Schur functions and Schur Q-functions2016

    • 著者名/発表者名
      岡田 聡一
    • 学会等名
      2016 年度表現論シンポジウム
    • 発表場所
      沖縄
    • 年月日
      2016-12-01
    • 招待講演
  • [学会発表] Symplectic Q-functions2016

    • 著者名/発表者名
      岡田 聡一
    • 学会等名
      Lie 型の組合せ論
    • 発表場所
      京都
    • 年月日
      2016-10-04
    • 招待講演
  • [学会発表] Pfaffian identities and Q-functions2016

    • 著者名/発表者名
      Soichi Okada
    • 学会等名
      76th Seminaire Lotharingien de Combinatoire
    • 発表場所
      Ottrott, France
    • 年月日
      2016-04-04
    • 国際学会

URL: 

公開日: 2018-01-16  

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