| 研究課題/領域番号 |
15K13426
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
今野 一宏 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10186869)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 特異代数曲線 / モノドロミー / ホッジ構造 |
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| 研究実績の概要 |
研究計画初年度であることを考慮して，資料収集や基本的な問題点の検討に重点を置いて研究を進めた．平行して，国内外旅費を活用し，各地で開催される研究集会やセミナーに出席し，最新の研究成果を収集した．また，各地の研究者と直接会って議論し，研究対象への理解を深めた．
代数曲面がもつファイバー構造の特異ファイバーにおいて，もっとも典型的な非安定曲線は，非特異代数曲線が重複したファイバーである．このような曲線は，ファイバー構造の局所変形に対して安定であり，いわゆるひとつの原子ファイバーであることが知られている．研究の第一歩として，このような重複ファイバーとその半安定還元として得られる代数曲線について，ゴナリティーや重複ファイバーの標準線形系の基点に着目して研究を進めた．これによって，例えば素数のゴナリティーを持ち，種数がそれより十分に大きい曲線を半安定還元とする場合には，重複ファイバーの重複度は必然的にごナリティーと一致せねばならず，しかも重複ファイバーの標準線形系は必ず基点をもつことが証明できた．このことから重複ファイバー相当の曲線についてトレリ型の問題を考える際には，重複度を与えるモノドロミーデータのみならず，基点に相当するデータが問題となることが明らかとなった．この結果に基づいて，重複ファイバーの堀川指数などの局所的な数値的不変量を計算した．また，これまで知られていなかった3重ファイバーの具体例を可能なすべての種数に渡って構成することにも成功した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究初年度における研究の進捗状況は，概ね良好ではあるが，残念ながら当初計画していたものに比べれば，やや遅れていると言わざるを得ない．大きな理由のひとつは，今年度に重点的に考察を行った非特異曲線が重複しているような重複ファイバーについての新たな知見であり，結果的に当初の見込みが希望的過ぎた点にある．研究開始前には，モノドロミーのデータである重複度を取り込むだけで，通常のホッジ構造を通して曲線の周期点を確定できると考えていた．ところが実際には，重複ファイバーの標準線形系の基点に関する情報をも取り込む必要のあることが判明した．これを如何に幾何学的に或いはホッジ理論的に解釈して困難を克服するかを検討中であるが，現時点ではまだめどが立っていない．
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| 今後の研究の推進方策 |
初年度の研究成果から，数値的１連結ファイバーの周期をモノドロミーデータから従う安定還元を通して，安定曲線の周期に帰着させる場合に，付加的に必要になるデータを再検討する必要が生じた．とくに標準系の基点情報が，位相幾何学的にどのように解釈できるのかを検討する必要がある．これは同じ形の安定還元をもつファイバーの複素構造に深く立ち入る問題で，大きな困難が予想される．最も基本的だと思われる，安定還元で既約曲線となる場合に重点をおいて，初年度の研究で得られたいくつかの具体例を通して研究を推進する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
招へい予定であった外国人研究協力者の来日が年度内には実現不可能になったため，その旅費・滞在費に充当する計画だった予算が使用できず，次年度使用額が生じた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
可能ならば，初年度に招へい予定だった外国人研究協力者の招へいを実現し，その際の旅費・滞在費に充てる．それが難しいようならば，国内外の研究集会に出席すること，および研究協力者を派遣することによって，研究推進のための資料収集に資する．
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