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2017 年度 実績報告書

強磁性イジング模型の未解決領域における振る舞いの解明

研究課題

研究課題/領域番号 15K13440
研究機関北海道大学

研究代表者

坂井 哲  北海道大学, 理学研究院, 准教授 (50506996)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2018-03-31
キーワードイジング模型 / 臨界現象 / 1-arm指数 / 低温相 / 確率幾何的表現
研究実績の概要

本課題は,磁石の統計力学模型として長い間研究の対象となってきた「強磁性イジング模型」に対する次の二つの未解決問題に取り組むことである.(1)プラス境界条件下における有限系1スピン期待値の自発磁化への収束の様子を明らかにすること.(2)低温相において帯磁率(=プラス境界条件下における2スピン共分散の和)が収束すること.

どちらの問題においてもカギとなるのは,スピンの値が2値しか取り得ない事実を上手く使った「ランダムカレント表示」と呼ばれる確率幾何的表現である.この表現を用いると,プラス境界条件下における有限系1スピン期待値は「その1点から伸びたクラスターが系の境界に達するパーコレーション事象に関する量」,プラス境界条件下における2スピン共分散は「その2点を同時に含むクラスターが有限であるパーコレーション事象に関する量」として解釈できる.その結果,(1)の問題のうち最も難しい問題である臨界温度直上における減衰の速さを特徴づける「1-arm指数」が4次元より上で1以下になることを証明することができた.これは,従来のハイパースケーリング不等式による上界(d-2)/2(ただしdは空間の次元)を遥かに改善したものになっている.Markus Heydenreich氏(ドイツ)と半田悟氏(北大)との共著が完成し,Charles Newman氏の70歳を記念したfestschriftに受理された.

尚,(2)の課題に関しては,別の確率幾何的表現である「ランダムクラスター表現」や,それに対応する統計力学模型である「ポッツ模型」を用いて,制約つきながら,臨界点以外での2スピン共分散の指数関数的減衰が証明された(Duminil-Copin et al.による)ため,その制約が外せるかどうか,どのような解析的問題を解決しなければならないのか,現在も検討中である.

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (6件) (うち国際学会 1件、 招待講演 6件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (2件)

  • [国際共同研究] Ludwig-Maximilians Universitat Munchen(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      Ludwig-Maximilians Universitat Munchen
  • [雑誌論文] Hyperscaling for Oriented Percolation in 1+1 Space-Time Dimensions2018

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 雑誌名

      Journal of Statistical Physics

      巻: 171 ページ: 462~469

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s10955-018-2020-2

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Co-ordinated Regulations of mRNA Synthesis and Decay during Cold Acclimation in Arabidopsis Cells2017

    • 著者名/発表者名
      Arae Toshihiro、Isai Shiori、Sakai Akira、Mineta Katsuhiko、Yokota Hirai Masami、Suzuki Yuya、Kanaya Shigehiko、Yamaguchi Junji、Naito Satoshi、Chiba Yukako
    • 雑誌名

      Plant & Cell Physiology

      巻: 58 ページ: 1090~1102

    • DOI

      https://doi.org/10.1093/pcp/pcx059

    • 査読あり
  • [学会発表] Hyperscaling for oriented percolation in 1+1 space-time dimensions2018

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      NUS Probability Seminar
    • 招待講演
  • [学会発表] Mean-field bound on the 1-arm exponent for high-dimensional Ising ferromagnets2017

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      Physical and Mathematical Approaches to Interacting Particle Systems - In Honer of 70th Birthday of Herbert Spohn
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] The lace expansion for self-avoiding walk and percolation on the BCC lattice2017

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      阪大確率論セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] 有向パーコレーションの臨界現象:厳密な立場より2017

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      Summer School 数理物理 2017
    • 招待講演
  • [学会発表] 強磁性イジング模型の相転移・臨界現象に関する研究の最近の動向2017

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      日本数学会2017年度秋季総合分科会
    • 招待講演
  • [学会発表] Hyperscaling for oriented percolation in 1+1 space-time dimensions2017

    • 著者名/発表者名
      Sakai Akira
    • 学会等名
      NTU Math Colloquium
    • 招待講演
  • [備考]

    • URL

      http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~sakai/

  • [学会・シンポジウム開催] 2017 Spring Probability Workshop2017

  • [学会・シンポジウム開催] The 1-day workshop “Recent Progress in Probability Theory and Its Applications”2017

URL: 

公開日: 2018-12-17  

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