| 研究課題/領域番号 |
15K13441
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | タイヒミュラー空間 / アフィン構造 / 双曲計量 / シストール / リーマン面 |
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| 研究実績の概要 |
新たなタイヒミュラー空間の構成のための基礎的な研究を行った．特に，平面上の多角形の辺をアフィン変換によって貼り合わせて得られる閉リーマン面を考えると，元の平面から自然にアフィン構造が誘導される（ただし，頂点に対応する点では一般にある種の特異性を持つ）．したがって，辺の個数と貼り合わせる辺の組み合わせを固定した上で，このような多角形から得られる閉リーマン面から頂点に対応する点を除いて得られる穴あきリーマン面とその上のアフィン構造の組は，ある種のモジュライ空間を構成する．このような空間がリーマン面のアフィン構造からなるベクトル束においてどのような部分を占めるのかは基本的な問題であり，その解決への模索をしているところである．このようなアフィン構造はGunningによってある時期かなり詳しく調べられていたが，それ以後の研究はそれほどされていないようである．途中経過ではあったが，本研究については2016年度「リーマン面・不連続群論」研究集会において，"Polygonal construction of Riemann surfaces and Teichmueller spaces"というタイトルで講演を行った．これ以外にも関連するものとして，以下のような研究を行い，現在論文を準備中の段階である．
(1) 張坦然氏，Matti Vuorinen氏とともに，n点穴あき球面の双曲幾何について研究を行い，そのモジュライ空間におけるモース関数としての役割を果たすと考えられているsystoleの評価を点の配置から決まる比較的簡単な量を用いて行った．
(2) 双曲平面内の領域が双曲凸であるための必要十分条件をその領域の双曲計量を用いて特徴づけた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多角形の辺のアフィン変換による貼り合わせによって得られるリーマン面および付随するアフィン構造の研究を行ったが，これは当初予定していた（ユークリッド）合同変換による貼り合わせよりも一般的で，複素解析的な変形空間を与えると期待されるため，新たなタイヒミュラー空間の構成においても非常に重要なアイデアだと期待される．一方，頂点における特異性が合同変換によるものに比べて遥かに取り扱いにくく，まだその特徴を完全に捉えるには至っていない．また，アフィン構造からなるベクトル束への写像を構成することが可能となったが，その写像の正則性や局所単射性など基本的な性質もまだ解明されていない．困難の一つが，与えられたリーマン面に標準的なアフィン構造を入れる方法が知られていないことによる．その存在は知られているが，コホモロジーの消滅など高度な理論が用いられており構成的ではないことに起因している．今後は知られた証明を見直し，具体的にアフィン構造をどのように構成すべきかを考えながら，さらに研究を進める必要があると考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
上述のように，まずは与えられた（穴あき）リーマン面にある程度標準的な方法でアフィン構造を構成することを模索する．さらに，そのような構成が複素解析的であること（つまり，面が動けば構造も複素解析的に動くこと）が求められる．そのような構成法を模索する．
次に，多角形の貼り合わせによって得られるアフィン構造が頂点に対応する点において持ち得る特異性を特徴づけることが必要となる．これは頂点における局所的な解析を行うことにより可能のはずで，対応する擬等角写像の挙動を詳しく分析することによりこれを行うことを考えている．
アフィン構造ではなく，射影構造の場合はBersなど既に多くの研究者が研究を行っており，知識の蓄積がされている．そのような知見を活かしながら，アフィン構造の場合にどのような工夫が必要となるのかを分析していきたい．ただ，これまでほとんど誰も成功していないということから，それほど容易なことではないと考えている．そこで，次の手段としては無限小解析的な手法（たとえば，小平・スペンサー理論のような方法）を用いてまずは研究したい写像のある点における微分を調べることにより複素解析性や局所単射性を調べるという方法も有効であろうと考えられる．そのための枠組みを構築することがまずは必要となるであろう．アフィン構造の場合は，射影構造とは違ってポアンカレ級数のようなテクニックが使えないことが大きなネックとなっており，そこをどう克服するかが現在の課題である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
概ね使い切ったが，最後に予定していた日本数学会出席を諸般の事情により断念したため，少し残った．
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度の旅費等に使用する予定である．
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