| 研究実績の概要 |
ボルツマン・ポアソン方程式を基準として, モデリングと数学解析によって多数の点渦系が平衡状態で作り出す秩序構造を解明した. 主に扱ったのは, 平行に近い状態で配置されている多数の渦糸の平衡状態と, 多数の点渦系において, 準平衡状態から定常状態に至るまでの遷移状態を記述する動的モデルである. ボルツマン・ポアソン方程式では, 解が臨界状態において線形部分の重ね合わせとなる量子化の現象と, 爆発の中心（爆発点）の位置がもとの点渦系のハミルトニアンの臨界点となる「循環的階層」の理論が確立されている. 本研究ではその原理をさらに深めた. すなわち, ミニマックス原理を用いた固有値の漸近挙動を詳細に解析し, 爆発解とハミルトニアンのモース指数が正確に対応することを突き止めた. 本成果は, 多点爆発や変数係数の場合も含めて明らかにしたものでボルツマン・ポアソン方程式の循環的階層についての1つの到達点であり, 今後の研究の指針となるべきものである. 渦糸系では様々な要素を粗視化して平均場方程式を導出すること, 導出されたモデルの数理構造を解明することに重点を置いた. 特にブロークンパスモデルによって, 2次元の平均場方程式が多数連立した系を導出し, さらにこのモデルに双対的な変分構造が成立していることを証明した. 点渦の緩和方程式はこれまでに提案されていないので, 新たにモデリングした. すなわちパッチモデルの平衡状態と緩和時間モデルの極限として多数点渦系の平衡状態と緩和時間モデルを導出し, 時間無限大での収束を含めて4つのモデルがすべて適合することを示した. その結果, 仮想的なブラウン点渦系モデルと一致していること, 小正準集団, 正準集団によって非局所項が現出したりしなかったりすること, それぞれの集団での熱力学的法則が成り立つこと, それぞれの場合で時間大域の存在と爆発が数学解析できることを示した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの定常状態に関する点渦系の数学解析によって示唆されてきた, 平均場動態の解明が順調に進んでいる. 特に準平衡から平衡に至る緩和モデルを確立し, 非局所項が存在することによって質量とエネルギーが保存され, エントロピーが増大する孤立系の様相を確認できたこと, またその数学解析によってもっとも単純な回転対象な場合には解が大域的に存在して定常解に収束することが示されたことは大きな成果である. また得られた緩和方程式がこれまでブラウン点渦平均場として仮想的に導出されたモデルと一致すること, 走化性方程式と類似の形態と性質を持つことが解明されたことも今後の研究において重要な役割を果たすことが期待できる.
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