|
擬共型不変な非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の爆発の速さは，解の背後にあるネルソン拡散過程の挙動と関係していることが，本研究によって分かっている。実際，その拡散過程を定める伊藤型確率微分方程式のブラウン運動を利用して爆発の速さを評価する：爆発の速さに対して理論的に尤もな上限と下限を設けると，loglog law と呼ばれる一定の爆発の速さが出現することが証明でき，このような意味で一種の普遍性定理を示したことになっている。しかしながら，上からの評価には，爆発解の形状に関すると思しき仮定をおいている。数値シミュレーションの結果などを鑑みると自然な仮定のように見えるが，仮定が成立する状況を数学として明解にすべく研究を進めている。現在までに得られた，数学として厳密に成立する部分については，確率論シンポジウムや関西確率論セミナー等で発表を行った。また，査読付き学術誌に投稿すべく論文を準備ているところである。
非線形項が二つの引力的局所相互作用の和である非線形シュレーディンガー方程式の基底波解の周辺の解軌道の分類定理の研究を継続した。この分類定理の証明の最初のステップとして基底波解の存在とその性質を知ることが重要であるが，低い周波数帯の場合に加えて高い周波数帯においても，解の存在／非存在や一意性について結果を得ることができた。これらをも元に分類定理の証明を継続しているが，基底波の性質を知ることは，上記の爆発解の特異点の様子を知る上でも極めて有用である。また，解の大域的挙動とネルソン拡散過程の関係についても研究を進めている。
古典的なコルモゴロフの乱流理論とオンサーガー予想を確率過程論の立場から見直した結果，非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解こそが乱流サンプルとして相応しいと考えて，新しい乱流モデルの構築を目指してきた。道半ばではあるが，その周辺についてサーベイを執筆中である。
|
