| 研究課題/領域番号 |
15K17505
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
金子 元 筑波大学, 数理物質系, 助教 (10706724)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 一様分布論 / 代数的独立性 / Pisot数 / Salem数 / 超越数 / ディオファントス近似 |
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| 研究実績の概要 |
一様分布論と呼ばれる分野では、整数及び実数におけるdigitの一様性について研究がされてきた。特にb進展開におけるdigitが一様である実数は正規数と呼ばれる。正規数は、力学系や解析数論などの純粋数学のみならず、疑似乱数や数値積分などへの応用も知られているため、古くより盛んに研究がされてきた。ところが、具体的な実数に対して、その正規性を証明することは非常に難しく、取り組むべき研究課題である。
本研究では、実数の具体例として、代数的無理数に対して、b進展開及びより一般にベータ展開に関する正規性を研究した。Pisot数やSalem数といった力学系において重要な数を用いて代数的無理数を展開する際、正規性の部分的な結果に関する論文が今年度出版された。また、この論文の応用として、ベータ展開を用いた代数的独立性の判定法の論文を2本投稿し、その中の1本が受理された。代数的独立性については、解析数論において種々の不等式を扱う際に必要な研究対象である。
本年度は整数のdigitの複雑さについて研究を行った。まず、平方数のように、多項式に整数を代入した値のb進展開について、subwordを用いて研究を行った。この研究に関しては、現在論文を執筆中である。
また、素因数分解において、大きな素数が現れないような整数はsmooth numberと呼ばれる。Smooth numberにおいて、nonzero digitは多いという予想がある。本研究では、この予想に取り組み、先行結果を大幅に改良することに成功した。
さらに、正標数の関数体において、従来知られていなかったCauchy数の類似に関する論文が本年度出版された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
整数のb進展開、及び実数のベータ展開を研究するために用いられる手法は多岐にわたる。本年度の研究においては、新しい観点から問題を見直すことができたため、計画以上の研究進展があった。
代数的独立性の判定法を構成することは解析数論において重要である。従来の代数的独立性の理論では、解析的な手法と代数的な手法を組み合わせることによって、研究が行われてきた。本年度受理された論文では、代数的手法及び組み合わせの手法を組み合わせた新しい観点を用いることにより、従来の手法では証明が不可能であった数の代数的独立性を証明することができた。この新しい観点を用いることにより、代数的独立性の理論において新しい手法を確立することが期待される。本論文の結果について、オーストリアのVienna大学で行われた研究集会Normal Numbers: Arithmetic, Computational and Probabilistic Aspects及びフランスのLorraine大学で行われたセミナーJournee d'Approximation Diophantienneにおいて成果を発表した。
次に、整数のb進展開に関する本年度の進展を述べる。多項式に整数を代入した値におけるdigitの複雑さを研究することは、重要な課題の一つである。本研究では、subwordという観点から研究することにより、digitの複雑さに関して新しい情報を入手できるようになった。
さらに、smooth numberにおけるnonzero digitの個数に関して研究を行った。特に、Baker理論と呼ばれる手法に関して、新しい適用の方法を発見することができた。その結果、先行研究を大幅に改良し、smooth numberのnonzero digitの個数に関する予想に対して、ある種の解答を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
整数および実数のdigitを研究するためには、多くの分野における手法を用いる必要がある。例えば、digitの解析にはフーリエ解析、特に指数和の解析の手法が必要不可欠である。申請者は海外に渡航し、フーリエ解析に関する専門家と研究打ち合わせを行うことにより、digitに関する解析を行う予定である。フーリエ解析の手法を用いることにより、先行結果を精密化できることが期待される。
また、本年度に先行結果を大幅に改良することができた理由は、整数のdigitに関する研究において、実数の立場だけでなくp進数の立場から新しい観点で解析を行うことができたためである。実数及びp進数に関する記号力学系を応用し、digitに関する研究を行うことにより、一様分布論が発展することが期待される。そのため、数論力学系などに関する国内外の専門家と連携し、研究を推進する予定である。これにより、先行結果を一般化できることが期待される。
さらに、一様分布論で得られる結果について、超越数論への応用を研究する必要がある。申請者は、8月末に八王子数論セミナーの世話人となり、E関数及びその特殊値の超越性、代数的独立性に関する情報を収集する予定である。E関数は、解析数論において重要な関数である。したがって、E関数について情報を入手し、専門家と研究打ち合わせを行うことで、研究の幅が広がることが期待される。
本年度は、digitに関する研究成果の中間発表を行う。具体的には、国内外の研究集会に参加をし、昨年度までに得られた結果を発表する予定である。
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