| 研究課題/領域番号 |
15K17506
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
津嶋 貴弘 千葉大学, 大学院理学研究院, 特任助教 (70583912)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Lubin-Tate空間 / 局所ラングランズ対応 / ヴェイユ表現 / ハウエ対応 |
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| 研究実績の概要 |
ラングランズ対応は数論において中心的テーマの一つである。フェルマー予想の解決においても哲学的な背景として重要な思想を提供した。これの局所版を局所ラングランズ対応と呼ぶ。一般線型群に関しては大域的な保型表現と志村多様体の幾何学を通してHarris-Taylorにより証明されたことは記憶に新しい。ところでこの対応をより具体的に理解する試みを明示的局所ラングランズ対応と呼ぶ。これを幾何学的なアプローチから研究することが本研究の課題である。Lubin-Tate空間という志村多様体の局所モデルの幾何学を理解することによりラングランズ対応を精密化するという方針で研究を行っている。より具体的にはLubin-Tate空間の部分アフィノイドを調べる。部分アフィノイドから還元という概念が定まり、その還元が有限体上のアフィンスムーズな代数多様体を定める場合に特に興味がある。その多様体のエタールコホモロジーの中に具体的な表現を構成することができる。これにより一般線型群の表現とガロワ表現が明示的かつ具体的に構成され局所ラングランズ対応が精密に理解される。一般線型群のサイズが基礎体の剰余標数を割る場合をwild caseと呼ぶ。この場合にはガロワ表現が難しくラングランズパラメータを記述することは純代数的アプローチでは難しいと思われる。上記の幾何学的アプローチではこれが可能となる。wild caseで導手が大きい表現について部分的ではあるが結果を出せた。またこの過程でヴェイユ表現が重要な役割を果たす。ヴェイユ表現自体についても幾何学的な構成を行った。このような幾何学的アプローチは知られていないので有限群の表現論においても新しい観点を提示するものとして興味深い結果であると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上述のwild caseにおいて新しいアフィノイドを発見することは、本研究課題の主テーマの一つでありその還元について非常に興味深い代数多様体を発見しラングランズパラメータをある程度具体的に記述出来たことは意義深い。その意味でおおむね順調に進展しているということができる。またこの研究の過程でヴェイユ表現が重要な役割を果たすことは既に述べた。Lubin-Tate空間の幾何を調べることでヴェイユ表現の幾何的な構成があるだろうという着想に至り、翻ってヴェイユ表現の非常に簡明な幾何学的構成を与えられたことは思わぬ進展でありこれを受けても本研究はおおむね順調に進展していると言うことができる。
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| 今後の研究の推進方策 |
Lubin-Tate空間の部分アフィノイドの更なる研究を進める。上記のwild caseの研究においては導手に条件が付いている。この条件を外した場合にどのような違った現象が起きるかを理解する研究を行う。また上述の研究においてガロワ表現の構成で出てくるガロワ拡大のガロワ群はハイゼンベルグ群になる。ハイゼンベルグ群に対するDeligne-Lusztig構成の類似を考えることでガロワ表現を幾何学的にかつ組織的に構成できる可能性があると考えている。これについて研究を行いたい。
またヴェイユ表現の幾何学的構成を行ったと述べたが、詳しくは有限ユニタリー群に対するヴェイユ表現の幾何実現を与えた。ヴェイユ表現は斜交群や一般線型群に対しても定義されているものなのでこれらについても幾何的に構成できないかを研究する。ヴェイユ表現はハウエ対応の中心対象である。ハウエ対応について説明する。違ったサイズのユニタリー群の直積群から大きなサイズのユニタリー群への自然な準同型写像を考えて、この写像でヴェイユ表現を引き戻し、直積群の表現として既約分解したときに現れるサイズの異なるユニタリー群の表現同士の対応をハウエ対応と呼ぶ。この対応でどのような表現の性質が保たれるかを幾何学的観点から理解したい。これを記述する上でDeligne-Lusztig理論が重要な役割を果たす。ヴェイユ表現を実現する我々が作った多様体はDeligne-Lusztig多様体とかけ離れたものであるが、それらのコホモロジーは何故か関係が付く。その幾何学的な背景を理解する研究を行うことも今後の課題である。
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