| 研究課題/領域番号 |
15K17513
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
鍋島 克輔 徳島大学, 大学院ソシオ・アーツ・アンド・サイエンス研究部, 准教授 (00572629)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 局所コホモロジー / 特異点 / 対数的ベクトル場 / チュリナ数 / ミルナー数 / グレブナー基底 / パラメータ付きシステム |
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| 研究実績の概要 |
平成27年度には、当初の計画通り「μ-constant deformationのチュリナ数自動分類計算」「半擬斉次多項式における対数的ベクトル場の計算」の構成と計算機への実装を成し遂げた。また，計画に書かれてある「拡張標準基底アルゴリズムの構成の確立」もほぼ初年で成し遂げた。
μ-constantな孤立特異点に付随する代数的局所コホモロジー計算アルゴリズムは，研究代表者の先行研究により紹介されていると共に，計算機上にもそのアルゴリズムは実装されている。また，パラメータが介在する場合にもそのアルゴリズムとプログラムは拡張されている。その結果とイデアル商と代数的局所コホモロジーの関係を用い効率的なμ-constant deformationのチュリナ数自動分類計算を確立した。これにより，チュリナ数とミルナー数の差のパラメータ依存性が分かる。同じ先行研究を使い，対数的ベクトル場の計算法も確立し計算機上に実装した。今まで計算ができなかったものが計算でき，計算機で計算できるようになったので，これを使うことによって今後の特異点解析が進展すると考えられる。
代数的局所コホモロジーと標準基底は深い関係があり，代数的局所コホモロジーを使用することにより標準基底の項順序変換が効率よくできることが分かった。この性質を用い標準基底の項順序変換アルゴリズムについても論文で発表することができた。また，局所環での拡張標準基底アルゴリズムについて画期的な方法を得ることができ，従来の方法より効率がよい。
特異点解析の手法として，代数的局所コホモロジーを主に研究を進めていただが，D加群を用いた方法も効果的であると考え，偏微分作用素環での包括的グレブナー基底を用いたb関数の計算法も取り掛かり，結果が出始めている。D加群は代数的局所コホモロジーと綿密な関係があり本研究課題での問題の1つである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究代表者の先行研究がダイレクトに活かせる研究課題であったため「μ-constant deformationのチュリナ数自動分類計算」「半擬斉次多項式における対数的ベクトル場の計算」は当初の予測通りに素直に構成できた。また，計算機にもその計算アルゴリズムは実装できた。これらの研究は，査読付き論文としてすぐに出版することができている。チュリナ数自動分類と，それに付随する標準基底の計算については，平成27年度で一区切りついた。しかし，対数的ベクトル場に関するものはまだまだいろいろできる。その1つとしてはBruce-Robertミルナー数の計算である。この計算法はほぼ確立しつつあるので，2年目以降に研究する予定だったトピックスを初年度で``ある程度''手を付けることができたので計画以上に進展している。
2年目以降に研究をする計画だった「拡張標準基底アルゴリズムの構成」であるが，初年度に画期的な方法を思いつき国際会議で発表することができた。また，この方法を更に発展させた方法も研究され研究集会で発表することができている。この研究は，2年目に論文としてまとめる予定である。
D加群は代数的局所コホモロジーと綿密な関係があり特異点解析においても重要な道具である。当初の計画には無いD加群的な研究手法を思いき特異点の性質を計算するプログラムを作成しつつある。計算機代数学で有名なグレブナー基底を偏微分作用素環で取り扱うことによって，特異点の性質を連立の偏微分方程式で表し解析する方法に取り掛かっている。
初年度の研究計画にあったトピックスはすべて終えることができると共に，2年目以降のトピックスもほぼ達成できそうなほど初年度は順調に研究が進展した。
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| 今後の研究の推進方策 |
代数的局所コホモロジーを使用するとこにより「ミルナー数の列(μ*)」が計算可能であるあることが分かった。また，同様の方法により「Limitting tangent space」も計算可能であることが分かる。この2つは2年目に研究し成し遂げる予定である。研究に必要な道具と理論は全て整っているので2年目に達成可能である。
対数的ベクトル場を用いて，Bruce-Robertミルナー数の計算アルゴリズムも構成する。これも，道具と理論は全て整っているので2年目に達成可能である。Bruce-Robertミルナー数の計算は可能となるであろうが，研究代表者はこの意味に関しては専門ではないので，専門家である北海道科学技術大学の伊澤毅准教授に協力を仰ぐことを考えている。
D加群を用いたグレブナー基底とb関数の研究も初年度から引き続き行う。b関数とD加群に関しての専門家である筑波大学の田島慎一教授と東京女子大学の大阿久俊則教授にその都度，協力を仰ぐようにする。
当初の2年目以降の研究計画として「局所環での border 基底と代数的局所コホモロジーの関係性について」書かれている。上記した研究が終わり次第，この研究に取り掛かる予定である。初年度からの研究の流れを考えると，この研究は独立性が高いので優先順位が低くなる。
今後の研究は以上のトピックを考えている。いくつかのトピックスはすでに，道具と理論は全て整っているので達成可能に近い。また，他のトピックスも専門家の助言を受けながら研究を形にしていく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由は，参加予定だった研究集会に参加できない事態が生じたことと，研究打合せの日程調整がうまく行かず研究打合せに行けなかったことがある。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究集会での発表は今後の研究集会で出来るので，そのまま研究集会の参加旅費を次年度に使用する予定である。また，打合せも次年度に出来るので打合せの旅費として次年度に使用する予定である。この2つ研究集会参加と研究打合せの旅費で使用する。
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