| 研究実績の概要 |
平成２７年度は、主に次の２つの研究を行った. 1. Hilbert 保型 L-関数の中心値での mod p での非零性に関する研究, 2. Hilbert モジュラー形式に付随するアーベル多様体の Manin 定数の性質に関する研究を行った.
1.では、Kohnen-Ono により発見され、研究代表者によって拡張されていた半整数ウエイトの Hilbert モジュラー形式の相対類数の非可除性に応用に関するアイデアをカスプ形式に用い, Waldspurger の公式などを組み合わせること, Hilbert 保型 L-関数の中心値の p-進的な性質を調べるというものであった. 研究を進める中で, Shimura 対応での逆像として, 係数が p-integral なものが取れるか, という問題が未解決であることがわかった. この問題は Hilbert 保型 L-関数の中心値が二次捻りを走らせたとき, どういう挙動を見せるか, という問題に翻訳される. 当該年度は, この障害を認める形で証明する方向で研究を進めた.
2. では, Hilbert モジュラー Hecke 固有 newform に対応するアーベル多様体の周期と Hilbert モジュラー形式自身から定義される period のズレとして生じる Manin 定数を調べる研究を行った. アーベル多様体の period は一般に計算しづらいもので, それを比較的わかりやすい Hilbert モジュラー形式での計算に帰着することが, Manin 定数を調べる動機の一つだった. 当該年度には Hilbert モジュラー形式に付随するアーベル多様体に対して Manin 定数を定義し, 志村曲線の CM 点での展開原理を示し, 応用することで, Manin 定数が p-unit になる素数 p についての十分条件を与えた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Manin 定数に関する研究は大筋うまくいっている. 特に, 論文を各段階に入っているという点で, 当初予定していたプランよりも早く解決しそうであり, 順調に進んでいると言える.
L-関数の中心値の mod p での非零性に関する研究は上記のとおり, 明確な障害が見つかった. その障害となっていることは一つの問題として重要なものであり, 本研究を進める上でも, この障害を回避するよりも解決すべきであると考える. その為,この問から解決する方向で研究を進めたことで, 少し当初の予定からは遅れる形となった.
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| 今後の研究の推進方策 |
Manin 定数に関する研究は, 出来ているところまでを早急に論文としてまとめ, 学会講演やプレプリントとして公開する. それと平行して, Manin 定数の整数性やより強い単数性, Hilbert モジュラー多様体を経由して定義される period との関係などについても突き詰めていく予定である.
Hilbert 保型 L-関数の中心値の mod p 非零性については, 障害として残っている箇所以外のパートを詰める. その障害となる問題については Hilbert 保型 L-関数と period の関係に詳しい研究者の方々と共同で研究することを予定している.
また, 次年度以降に予定していた Bloch-Kato 予想に関する研究に必要と考えている手法などを習得, 改良する.
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