| 研究課題/領域番号 |
15K17519
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| 研究機関 | 上智大学 |
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研究代表者 |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Schur多重ゼータ関数 / 行列式表示 / Iwahori Hecke環 |
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| 研究実績の概要 |
(I) Euler-Zagier型多重ゼータ関数の拡張として，Schur関数のtableau表示の類似として定義したSchur型多重ゼータ関数（「Schur 多重ゼータ関数」と呼ぶ）に対し，Phuksuwan氏(Chulalongkorn大学)および山崎義徳氏（愛媛大学）と共同研究を進めている．本年度の研究においては，具体的に次のような研究を行った．
[1] Schur多重ゼータ関数のについて収束性をはじめとするいくつかの基本性質について結果を得た．さらに，Schur関数について知られている(skew) Jacobi-Trudi formula, Giambelli formula, dual Cauchy formula等の行列式表示を得るために展開される議論をSchur多重ゼータ関数について行い，これらに相当する行列式表示を得た．また得られた結果から，Euler-Zagier型多重ゼータ関数と等号付多重ゼータ関数間の新しい関係式の族を得た．
[2] Schur多重ゼータ関数をquasi-symmetric 関数の観点から考察し，Schur型 quasi-symmetric 関数に拡張した．これは，combinatorial Hopf algebraとして知られるquasi-symmetric 関数の環QSymの新しい基底となる．この拡張により， [1]の結果をquasi-symmetric 関数に一般化した．また，QSymのHopf algebra構造からそのduality identityを得た．
(II) 局所体上定義された線型簡約代数群の不分岐主系列表現に対し，岩堀固定空間の基底の変換係数に関するCasselman問題について，研究協力者との共同研究において，Iwahori Hecke環による新しいアプローチについて現在研究を進めている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度に引き続き，先行研究で用いた組合せ論的手法の類似を応用することにより，Schur多重ゼータ関数の性質について研究を行った．本年度は山崎義徳氏（愛媛大学）を新たに共同研究者として加わってもらい，前年度の結果をさらに拡張することができた．特に，野海正俊氏（神戸大学）の助言をもとに，combinatorial Hopf algebraの観点から考察したことにより，多くの関係式を得ることができた．同時に様々な問題への応用の可能性と新たな問題ができた．
一方，本来の計画であったKazhdan-Lusztig多項式とHecke理論の関係解明については，具体的な成果に至っていない．しかしながら，先行研究によりHecke理論を用いた数論的手法について一部が解決していた．このため，Daniel Bump氏(Stanford大学), Soma Purkait氏(上智大学)のそれぞれとの共同研究として新しいアプローチについて研究を進めている．
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| 今後の研究の推進方策 |
Schur多重ゼータ関数の性質について，本年度の成果から期待できる様々な問題への応用について引き続き取り組んでゆく．また，平成29年度の研究計画としているDemazure-Luztig作用素とIwahori Hecke環との関係解明に取り組む．本研究については，具体的に，Daniel Bump氏との研究をすでに進めており，8月には本格的な議論を進めるため，Stanford大学への長期滞在を計画している．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成28年度の研究計画であったKazhdan-Lusztig多項式とHecke理論の関係解明については，具体的な成果に至らなかったことから，共同研究者のDaniel Bump氏と別なアプローチについて検討してきた．この共通の問題意識のもと，平成28年度は問題点について各々で研究を進めて議論してきたが，まとまった期間での集中的な議論の必要性が生じる段階となった．このため，平成29年度に１ヶ月程度の長期滞在を検討するに至った．これに際し，平成28年度分の研究打ち合わせに係る外国旅費(400千円）を29年度に回す必要が生じた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度使用額(463,738円)について，Daniel Bump氏（Stanford大学）との打合せにおいて必要となる旅費の一部に使用することを計画している．
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