| 研究課題/領域番号 |
15K17524
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| 研究機関 | 大阪体育大学 |
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研究代表者 |
佐々木 義卓 大阪体育大学, 体育学部, 講師 (20548771)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Mahler測度 / ポリログ / L関数 / 多重L関数 |
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| 研究実績の概要 |
Mahler測度はLaurent多項式に対して定まる数であり、様々な数学的意義を持つ。とりわけL関数の特殊値との関係は数値実験などを通じて多くの予想が提示されている。本研究では多重L関数に焦点をあてることでRodriguez-Villegasによって予想されたある多項式のMahler測度と保型L関数の特殊値との関係解明を目的としている。本年度は、Rogers-Zudilinの方法を用いて保型L関数の特殊値と多重保型L関数の特殊値の関係を解明するための整備として、計算機を援用して保型形式のエータ積表示の構造や保型形式の空間の構造に関する基礎情報を収集した。現在、そのデータをもとにRogers-Zudilinの方法を適用する研究に取り組んでいる。並行して、近年導入された高次Mahler測度とL関数の特殊値の関係を総合的に解明するための研究にも着手した。Mahler測度の場合、ポリログ関数を応用してL関数の特殊値との関係を組織的に示すことが可能である。本年度はそれを高次Mahler測度へ拡張するために、高次Mahler測度の解析的な枠組みとポリログ関数や多重ポリログ関数の解析的性質の適合性を検証した。また、この研究はRogersによる上記のRodriguez-Villegasの予想のポリログ関数を用いた定式化とも関連しており、現在、ポリログ関数の側面からの研究も進めている。多重L関数の研究においては、3重ゼータ関数の不確定特異点の解消に取り組み、近年小野塚によって得られた多重ゼータ関数の漸近展開とこれまでの研究結果との関係を示した。この研究成果は早稲田整数論研究集会や名古屋大学の解析数論セミナーで講演した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Rogers-Zudilinの方法を適用し、保型L関数の特殊値から多重保型L関数の特殊値を導くことを目標にしていた。本年度はRogers-Zudilinの方法を本研究で扱う保型形式に適用するために、保型形式のエータ積表示等の基礎情報の収集に注力した。それと並行して、高次Mahler測度とL関数の特殊値の組織的な関係解明に向けて、ポリログ関数や多重ポリログ関数の解析的・幾何学的性質と高次Mahler測度との関係を検証した。Mahler測度とL関数の特殊値との関係は組織的に解明することが可能であり、その理論を拡張するための基礎情報として一定の成果を得た。
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| 今後の研究の推進方策 |
上述のように、今年度はある保型L関数にRogers-Zudilinの方法を適用するために、当該保型形式に関する種々の情報を収集した。次年度はRogers-Zudilinの方法を適用して保型L関数の特殊値と多重保型L関数の特殊値の関係解明を目指す。一方で、ポリログ関数の観点からも同問題にアプローチしていく。上記の課題はRodriguez-Villegasの予想と関連し、Rogersによりそのポリログ関数を用いた表現が与えられている。このポリログ関数を応用した研究は、高次Mahler測度とL関数の特殊値の関係解明と関連しているため、高次Mahler測度の研究と並行してその進展を図っていく。高次Mahler測度の研究においては、今年度実施した高次Mahler測度とポリログ関数・多重ポリログ関数の性質との関係をもとに、Mahler測度とポリログ関数の関係を応用した研究の拡張を図る。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
海外の研究支援者との研究打合せを予定していたが、今年度は国内においてMahler測度の国際ワークショップが開催され、その研究支援者が来日する機会を得た。そのため、計画していた研究打合せを国内にて行うことができた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度計画していた海外出張を国内出張に変更したことが要因であるため、その予算を次年度の出張の拡充にあてる。また、次年度の研究においても計算機を援用した数値実験を必要とするため、予算の一部を物品費にもあてる。
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