| 研究課題/領域番号 |
15K17532
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
中村 伊南沙 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 特任助教 (60568161)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 結び目理論 / 曲面結び目 / ２次元ブレイド / トポロジー |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、１次元の結び目やブレイド、また２次元ブレイドの性質を研究することによって曲面結び目を研究することを目的としている。具体的な研究対象は、可換な１次元ブレイド２つで定まる「トーラス被覆結び目」という曲面結び目と、「曲面結び目上の２次元ブレイド」という、トーラス被覆結び目の概念の拡張である曲面結び目である。そのような曲面結び目の不変量を１次元の結び目またはブレイドの不変量を用いて表すことや、図式による変形などによって２次元ブレイドを分類することを目指している。
曲面結び目上の２次元ブレイドは、曲面図式上に描かれるある種のグラフ、「チャート」で表すことができる。任意の向きづけられた曲面結び目は球面上の２次元ブレイドで表され、それは球面上のグラフである「チャート」で表されることが知られているが、曲面図式上のチャートは球面上のチャートの概念の拡張になっている。曲面結び目上の２次元ブレイドを曲面図式上のチャートを用いて考察した。具体的には、1-ハンドルをいくつか加えることによって得られる曲面結び目上の２次元ブレイドで、ある繰り返しのパターンから成るものについて、1-ハンドルムーブという同値変形を導入し、この図式の変形によって２次元ブレイドがどれだけ簡単に変形できるか調べた。 さらに、チャートループ付き1-ハンドルを加えるという操作は、任意の曲面結び目上の任意の2次元ブレイドについてブレイドを解消する操作であることを示した。この結果を学会や国際会議において発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
平成２７年度の研究計画では、曲面結び目上の２次元ブレイドについて、チャートの性質を調べるほか、そのカンドルコサイクル不変量を計算するとしたが、カンドルコサイクル不変量の計算にまで至らなかったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２７年度の結果を踏まえた上で、曲面結び目上の２次元ブレイドについて、曲面図式上のチャートの同値類についての研究を進めるほか、カンドルコサイクル不変量についても計算する。平成２８年度の研究計画にあるとおり、トーラス被覆結び目の結び目群についても、具体例の計算を含め考察したい。
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