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2016 年度 実施状況報告書

曲面結び目と2次元ブレイド

研究課題

研究課題/領域番号 15K17532
研究機関東京大学

研究代表者

中村 伊南沙  東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (60568161)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2019-03-31
キーワード曲面結び目 / 2次元ブレイド / チャート
研究実績の概要

4次元空間内に埋め込まれた閉曲面である「曲面結び目」、および曲面結び目の被覆の形をしている曲面である「曲面結び目上の2次元ブレイド」について研究している。今年度は論文"On addition of 1-handles with chart loops to 2-dimensional braids"が出版された。
この論文では、1-ハンドルをいくつか加えることによって得られる曲面結び目上の2次元ブレイドで、ある繰り返しのパターンから成るものについて、「1-ハンドルムーブ」という同値変形を導入した。曲面結び目上の2次元ブレイドは、曲面結び目を3次元空間に射影して得られる図式の上に描かれるある種のグラフ、「曲面図式上のチャート」で表示される。ここで考えた「ある繰り返しのパターンから成る」2次元ブレイドは、簡略化されたチャートで表すことができる。そのようなチャートが描かれている曲面図式が、「1-ハンドルムーブ」によって、どのパターンに分類されるかを調べたのが第1の結果である。さらに、第2の結果として、任意の曲面結び目上の任意の2次元ブレイドについて考え、これにチャートループ付き1-ハンドルを加えるという操作は、2次元ブレイドを簡略化する操作であることを示した。すなわち、ある種類のチャートループ付き1-ハンドルをいくつか加えると、曲面図式上のチャートは「フリー・エッジという特殊な簡単なチャートいくつかと、チャートループ付き1-ハンドルいくつか」という形に必ず変形できることを示した。
また、埋め込まれた曲面ではなく、境界のある本来の「2次元ブレイド」の概念との混同を避けるため、「曲面結び目上の2次元ブレイド」を「被覆曲面結び目」に変更することにした。
また、学習院大学トポロジーセミナーを開催し、この科研費をつかって遠方の講演者を招待することができた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

カンドルコサイクル不変量や結び目群についての結果を出すに至らなかったため。

今後の研究の推進方策

これまでの結果を踏まえた上で、被覆曲面結び目(曲面結び目上の2次元ブレイド)について、チャートの変形についての研究を行う。チャートループ付き1-ハンドルを加えるという操作によって、被覆曲面結び目の「単純化数」という不変量が定義されるが、それの評価を考察する。また、カンドルコサイクル不変量、結び目群についても先行研究や最新の研究を学びつつ研究を進める。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2017 2016 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 2件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] On addition of 1-handles with chart loops to 2-dimensional braids2016

    • 著者名/発表者名
      Inasa Nakamura
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 26 ページ: 1650061(32p)

    • DOI

      10.1142/S0218216516500619

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Simplifying covering torus-knots by an addition of 1-handles with chart loops2017

    • 著者名/発表者名
      Inasa Nakamura
    • 学会等名
      The 12th East Asian School of Knots and Related Topics
    • 発表場所
      東京大学(東京都目黒区)
    • 年月日
      2017-02-13 – 2017-02-13
    • 国際学会
  • [学会発表] Unbraiding 2-dimensional braids by an addition of 1-handles with chart loops2016

    • 著者名/発表者名
      中村伊南沙
    • 学会等名
      4次元トポロジー
    • 発表場所
      大阪市立大学(大阪府大阪市)
    • 年月日
      2016-11-26 – 2016-11-26
  • [学会発表] Showing distinctness of surface links by taking 2-dimensional braids2016

    • 著者名/発表者名
      中村伊南沙
    • 学会等名
      葉層構造と微分同相群2016
    • 発表場所
      東京大学玉原国際セミナーハウス(群馬県沼田市)
    • 年月日
      2016-10-20 – 2016-10-20
  • [学会発表] 1-ハンドル付加による2次元ブレイドのブレイド解消操作2016

    • 著者名/発表者名
      中村伊南沙
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会・トポロジー分科会
    • 発表場所
      関西大学(大阪府吹田市)
    • 年月日
      2016-09-18 – 2016-09-18
  • [学会発表] Unbraiding 2-dimensional braids by an addition of 1-handles with chart loops2016

    • 著者名/発表者名
      Inasa Nakamura
    • 学会等名
      KOOK-TAPU Workshop of Knots in Tsushima Island
    • 発表場所
      対馬市交流センター(長崎県対馬市)
    • 年月日
      2016-09-08 – 2016-09-08
    • 国際学会
  • [備考] 東京大学大学院数理科学研究科 中村伊南沙研究室ホームページ

    • URL

      http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~inasa/index.html

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公開日: 2018-01-16  

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