| 研究課題/領域番号 |
15K17533
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
糟谷 久矢 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80712611)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | mixed Hodge構造 / ケーラー多様体 / 基本群 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では非可換Hodge理論の特殊な計量によらない構成を目指しているが、その目的のために本年度では非可換Hodge構造と呼ばれるものがどのように計量と関わっているかを解き明かす事にした。 John W. Morganの仕事によって、Kahler多様体の基本群のMalcev completionにはmixed Hodge構造が入る事が知られているが、その構造はuniqueでもなくまたMorganの構成ではcanonicalなものが取れている訳ではない。近年の研究においては、この構造をよりnaturalなものとして定める方法として元の多様体のbased pointを固定するという手段を用いるが、このやり方では得られた構造はbased pointの取り方に大きく依存してしまう。これは、多様体自身をパラメーターとするような不変量を構成しているという点で非常に効率が悪いように感じられる。
私は本年度の研究において、コンパクトケーラー多様体上でbased pointを固定する事なしに基本群のMalcev completion上にcanonicalなmixed Hodge構造を構成した。この構造はケーラー計量のGreen作用素を用いたSullivan 1-minimal modelを用いて構成される。この構造は多様体のケーラー計量に依存する。この構造は上記のbased pointを固定した時の構造よりも代数的にcontrolしやすいものである。また、この構造を用いてvariation of mixed Hodge構造をexplicitに構成する事が出来る。これはHain-ZuckerやEyssiieux-Simpsonらの構成に非常に良く似ていながらも、全く新しい構成となっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究は計画当初非可換Hodge理論の計量的な部分と複素幾何学な部分の"分離"を目指すものであったが、実はその二つの"混ざり合い"のなかにこそ複雑で興味深い世界が広がっている事が見いだされ、現在はその世界のモデル化という新領域の研究に発展しつつある。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要において書いた、コンパクトケーラー多様体上でbase pointを用いないmixed Hodge構造の構成について、この構成の計量に関わる部分の代数的にessentialな部分を抜き出す事によって、計量を用いない場合においての構成のための方策を見いだす事ができているので、これを押し進めていき、非ケーラー多様体上の非可換Hodge理論を展開する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度途中での所属機関変更による予定変更のための国際会議への参加のキャンセルや、備品の拡充計画の延期による。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記の理由により購入できなかった備品の購入に充てる。
また、当初想定外であったが研究を進めていくうちに本研究との関わりの深いことが判明したカテゴリーに関するカンファレンス、ワークショップ等の参加に用いる。
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