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2017 年度 実施状況報告書

非ケーラー複素多様体の非可換Hodge分解

研究課題

研究課題/領域番号 15K17533
研究機関大阪大学

研究代表者

糟谷 久矢  大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80712611)

研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2019-03-31
キーワード非可換ホッジ理論 / Variation of MHS / Sasakian多様体
研究実績の概要

今年度は非可換ホッジ理論において特に重要なVariation of Real-Mixed-Hodge-structures(R-MHS)について研究を行なった。既存の理論においてVariation of R-VHSはMonodromy representatationを用いて代数的に理解されているものであったが、微分幾何学的にはまだ多くのことが理解されてはいなかった。そこで本研究では、Monodromy representatationを用いずに複素多様体の種々の微分作用素を用いてVariation of R-VHSの微分幾何学的観点から見てexplicitな表示を与えた。これによって、Variation of R-VHSに関してこれまでの理論とは違う方向への発展の可能性を見いだすことができた。具体的には、これまでの理論ではVariation of R-VHSは基点付きの空間を考えることが不可欠であったが、今回得られた理論においては基点を取ることに変えて、Hermitian metricやもっと一般にVolume formを用いることができるようになった。これによってこれまでは基点を使うことで局所的にならざるをえなかった部分に関しても、今後はより大域的な取り扱いが可能になる。
また、年度の後半にはケーラー多様体の奇数次元版であるStrongly Pseudo Convex CR多様体やSasakian多様体上での非可換ホッジ理論を研究した。3月にはインドに滞在し、ムンバイのTATA基礎研究所においてIndranil Viswas氏や望月拓郎氏らとこのことに関する議論を行うことや、バンガロールのICTS研究所で開催された研究集会"ANALYTIC AND ALGEBRAIC GEOMETRY"に出席し非可換ホッジ理論の研究に関する最新の情報収集を行うことよっていくつかの今後に繋がる結果を得られた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

Variation of Real-Mixed-Hodge-structuresに関する研究は当初本研究全体からみれば一応用例と考えていたが、ここで非常に大きな理論に発展する可能性を見出すことができた。
またSasakian多様体上での非可換ホッジ理論は未だに議論の別れるところであるSasakian多様体を考えることの意義に関わる重要な問題になり得るということが見出された。

今後の研究の推進方策

これからは構築されたVariation of Real-Mixed-Hodge-structuresの理論をより微分幾何学的な点で拡張していき、インパクトのあるものにしていく予定である。
また、Sasakian多様体上の非可換ホッジ理論をより確かな形で構築していき、これを足がかりにして、非ケーラー多様体の非可換ホッジ理論の骨組みを完成させる。

次年度使用額が生じた理由

今年度は長期海外研修中の帰国時期であった。長期海外研修中での異動があったこともあり、学内業務に集中する必要があり、予定していたいくつかの研究打ち合わせや研究会参加を断念せざるをえなかった。
前年度のインド出張での研究の進展より、これまで予定していなっか研究者との研究打ち合わせや研究分野に関する研究会への参加の必要が見出されたので、そのための予算として使用する予定。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2018 2017

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Techniques of constructions of variations of mixed Hodge structures2018

    • 著者名/発表者名
      Hisashi Kasuya
    • 雑誌名

      Geom. Funct. Anal.

      巻: 28 ページ: 393--442

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00039-018-0441-3

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mixed Hodge structures and Sullivan's minimal models of Sasakian manifolds.2017

    • 著者名/発表者名
      Hisashi Kasuya
    • 雑誌名

      Ann. Inst. Fourier (Grenoble)

      巻: 67 ページ: 2533--2546

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Bott-Chern cohomology of solvmanifolds2017

    • 著者名/発表者名
      Daniele Angela, Hisashi Kasuya
    • 雑誌名

      Ann. Global Anal. Geom.

      巻: 52 ページ: 363--411

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s10455-017-9560-6

    • 査読あり
  • [学会発表] Techniques of constructions of variations of mixed Hodge structures2018

    • 著者名/発表者名
      Hisashi Kasuya
    • 学会等名
      "ANALYTIC AND ALGEBRAIC GEOMETRY", ICTS, Bangalore India
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Techniques of constructions of variations of mixed Hodge structures2018

    • 著者名/発表者名
      Hisashi Kasuya
    • 学会等名
      "Complex analytic geometry" Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai, India.
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2018-12-17  

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