2019 年度研究成果報告書

非ケーラー複素多様体の非可換Hodge分解

研究課題

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研究課題/領域番号	15K17533
研究種目	若手研究(B)
配分区分	基金
研究分野	幾何学
研究機関	大阪大学 (2016-2019) 東京工業大学 (2015)
研究代表者	糟谷久矢大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80712611)
研究期間 (年度)	2015-04-01 – 2020-03-31
キーワード	平坦束 / Higgs束 / 非可換ホッジ理論
研究成果の概要	ケーラー多様体上で非可換ホッジ分解と呼ばれる平坦束とHiggs束との対応が知られているが、非ケーラー多様体上ではまだ非可換ホッジ分解は理解されていない。本研究ではホッジ理論の一般化であるツイスター構造の理論やBott-Chernコホモロジーの理論などを用いて非ケーラー多様体上の非可換ホッジ分解の理論の構築を行った。この研究の重要な応用として、非ケーラー多様体の重要なクラスの一つである佐々木多様体上で非可換ホッジ分解が成立することが証明できた。より具体的には、コンパクト佐々木多様体上では、半単純平坦束と多重安定ベーシックHiggs束が対応が成り立つことが示せた。
自由記述の分野	幾何学
研究成果の学術的意義や社会的意義	ケーラー多様体上で非可換ホッジ分解は多様体の分類(Moduli)に関する理論や基本群の表現に関する理論など多様な応用がある。しかしケーラーという仮定は幾何学においては非常に限定的であり、これらの理論が非ケーラー多様体に拡張できることが望まれている。ケーラー多様体は偶数次元の空間しか扱えないが、佐々木多様体で非可換ホッジ分解が得られたことにより奇数次元上でも理論が展開できるようになり、現実の物理理論とリンクするような幾何学理論が構築されることが期待される。