| 研究課題/領域番号 |
15K17534
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
山形 紗恵子 横浜国立大学, 教育人間科学部, 准教授 (70513563)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 相対的双曲群 / 相対的擬凸部分群 |
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| 研究実績の概要 |
G を可算とは限らない群とする. さらに群 G の部分群たちからなる族 A, B をとる. ただし, B に属する G の任意の部分群 H に対し, A に属する G の部分群であって, H を含むものが必ず存在しているとする.
このとき, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもつことと, 群 G が族 B に関して相対的双曲性をもつことの間にある関係を明らかにするのが平成 27 年度の目標であった.
上記の関係は群 G が可算であるときはすでに明らかにされているが, 可算とは限らない群に対する結果は知られていなかった. また, 可算群が相対的双曲性をもつことの定義はいくつか知られており, それらは互いに同値であることが知られている. そして, それぞれの定義は, 証明したい群の性質に対して, より適した定義を選択することができるという点ですべて重要である.
ところで, 可算とは限らない群が相対的双曲性をもつことの定義は一つしか知られていなく, その定義から出発して申請者の目標を達成するのは非常に困難であった. そこで可算群が相対的双曲性をもつことの定義を拡張する形で, 可算とは限らない群が相対的双曲性をもつことの定義をする必要があった. それはすでに青山学院大学の松田能文氏と愛媛大学の尾國新一氏との共同研究で行い, 論文として発表済みである.
それをもとに, 両氏との共同研究で, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもつことと, 群 G が族 B に関して相対的双曲性をもつことの必要十分条件を与えた. さらに, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもち, かつ群 G が族 B に関しても相対的双曲性をもつとき, 群 G のある部分群 L が族 A に関して相対的に擬凸であることと, 部分群 L が族 B に関して相対的に擬凸であることの必要十分条件も与えた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
可算とは限らない群 G に対し, G の部分群たちからなる族 A, B をとる. ただし, B に属する G の任意の部分群 H に対し, A に属する G の部分群であって, H を含むものが必ず存在しているとする.
可算とは限らない群が, 相対的双曲性をもつことの定義は一つ存在していたが, その定義から出発して申請者の平成 27 年度の目標を達成するのは非常に困難であった.
一方, 可算群が相対的双曲性をもつことの定義はいくつか知られており, それらは互いに同値であることも知られている. このいくつかの同値な定義を拡張した形で, 可算とは限らない群が相対的双曲性をもつことの定義を, 青山学院大学の松田能文氏と愛媛大学の尾國新一氏との共同研究ですでに行っていた.
これらの拡張された定義を用いることによって, 可算とは限らない群 G が族 A に関して相対的双曲性をもつことと, 群 G が族 B に関して相対的双曲性をもつことの必要十分条件を松田氏, 尾國氏との共同研究により得た. このことにより, 平成 27 年度の研究目標を達成することが出来た.
さらに, 可算とは限らない群 G が族 A に関して相対的双曲性をもち, かつ群 G が族 B に関しても相対的双曲性をもつとき, 群 G のある部分群 L が族 A に関して相対的に擬凸であることと, 部分群 L が族 B に関して相対的に擬凸であることの必要十分条件も両氏との共同研究により与えることができた. 研究結果として一区切りついたので, 以上の結果をまとめ, 雑誌に投稿する準備をしている.
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| 今後の研究の推進方策 |
有限生成とは限らない群 G が, その部分群の族 A に関して相対的双曲性をもつとする. このとき, 族 A を群 G の相対的双曲構造 (relatively hyperbolic structure, RHS と表記する) とよぶ.
相対的双曲性をもつ群に対し, その RHS を用いた, Osin による群の自由積への分解定理が知られている. しかし, この分解定理は一意的な自由積への分解ではない. なぜならば, 一般に相対双曲性をもつ群の RHS は一つとは限らないからである.
そこで申請者が目指すのは, RHS を用いてはそれ以上分解できないという意味で一意的な, 群の分解定理を得ることである. このときの RHS を普遍相対的双曲構造 (universal relatively hyperbolic structure, URHS と表記する) とよぶことにする. この URHS を用いて申請者の目標を言い換えると, 与えられた群が URHS をもつための必要十分条件を与える, ということである.
ところで有限表示ではない, 有限生成群であって URHS をもたない群の実例が知られている. 一方, 有限表示群では URHS をもたない群の例は今のところ知られていない. 申請者は「有限表示群ならば, URHS をもつ」と予想しているので, まずはこの予想を証明することを目標とする.
そのために, 群のケーリーグラフ上のランダムウォークの手法を活用することによって, 群の分解定理を得るという方向性を探っていきたいと考えている.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
出産のため, 平成 26 年 6 月から, 平成 27 年 3 月まで産前産後休業と育児休業をとっていた. そして, 平成 27 年 4 月から子どもを保育園に預けて職場復帰をした. しかし, 子どもがしばしば体調を崩し, 保育園へ登園出来ない日も多かった. それにより, 予定していた国内外の出張にあまり行くことが出来なかったため, 旅費をほとんど使用することが出来なかった.
また, 研究環境を整えるため, 色々精査して物品を購入する予定で物品費を計上していた. しかし, 子育てをしながら研究を行っているため, その精査を落ち着いて行う時間を捻出することが出来なかった. このことから, 物品を購入することが出来なかったため, 物品費を使用することが出来なかった.
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| 次年度使用額の使用計画 |
子どもも少し大きくなり, 長期出張に行くことが可能になったので, 今年度は海外も含め, 研究分野が近く, 興味のある研究集会, 学会などに精力的に出席する予定である. そのために旅費を使用する予定である.
また, 子どもが成長したおかげで, 平成 27 年度よりも研究に費やせる時間が少し増えた. このことにより研究室の環境整備のため, 購入する物品を精査する時間が持てるようになった. 従って物品費によりパソコンなどを購入し, 研究環境を整備する予定である.
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