| 研究課題/領域番号 |
15K17534
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
山形 紗恵子 横浜国立大学, 教育人間科学部, 准教授 (70513563)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 相対的双曲群 / 相対的擬凸部分群 |
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| 研究実績の概要 |
G を可算とは限らない群とする. さらに群 G の部分群たちからなる族 A, B をとる. ただし B に属する G の部分群 H に対し, A に属する G の部分群であって, H を含むものが必ず存在しているとする.
このとき, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもつことと, 群 G が族 B に関して相対的双曲性をもつことの必要十分条件を与えたのが平成 27 年度の成果であった.
さらに, ある部分群の族に関して相対的双曲性をもつ, 可算とは限らない群に対して, その部分群が相対的に擬凸であることの定義を, 申請者と青山学院大学の松田能文氏, 愛媛大学の尾國新一氏との共同研究により与えていた. これはある部分群の族に関して相対的双曲性をもつ可算群において, その部分群が相対的に擬凸であることの定義の拡張になっている.
この定義をもとに, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもち, かつ族 B に関しても相対的双曲性をもつとき, 群 G のある部分群 L が族 A に関して相対的に擬凸であることと, 部分群 L が族 B に関して相対的に擬凸であることの必要十分条件を与えたのも平成 27 年度の成果であった. 申請者らが共同研究で与えた, 相対的に擬凸であることの定義は, この必要十分条件を得るのに非常に有用性が高かった.
今年度はその結果をさらに精査し, 上記の結果を論文としてまとめた. 具体的には, これ以上一般化ができないか, 他の必要条件, 十分条件も考えられないかなど, 多方面から綿密に検討した. その結果, 研究結果として一区切りがついたと判断したので, 論文としてまとめた. その論文は現在雑誌に投稿中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
G を可算とは限らない群とする. さらに群 G の部分群たちからなる族 A, B をとる. ただし B に属する G の部分群 H に対し, A に属する G の部分群であって, H を含むものが必ず存在しているとする.
ある部分群の族に関して相対的双曲性をもつ, 可算とは限らない群に対して, その部分群が相対的に擬凸であることの定義を, 申請者と青山学院大学の松田能文氏, 愛媛大学の尾國新一氏との共同研究により以前に与えていた. これは相対的双曲性をもつ可算群の部分群が相対的に擬凸であることの定義の拡張になっている.
この定義を利用して, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもち, かつ族 B に関しても相対的双曲性をもつとき, 群 G のある部分群 L が族 A に関して相対的に擬凸であることと, 部分群 L が族 B に関して相対的に擬凸であることの間にある関係を明らかにすることが平成 28 年度の目標であった. 申請者が松田氏と尾國氏との共同研究で得た, 相対的擬凸部分群の定義はこの目標を達成するのに非常に有用なものであった.
平成 27 年度に引き続き, 平成 28 年度においても, 群 G が族 A に関して相対的双曲性をもち, かつ族 B に関しても相対的双曲性をもつとき, 群 G のある部分群 L が族 A に関して相対的に擬凸であることと, 部分群 L が族 B に関して相対的に擬凸であることの間に成り立つ必要十分条件に関し研究を進めていた. その中で, 研究結果として一区切りがついたと判断したので, 論文としてまとめた. その論文は現在雑誌に投稿中である.
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| 今後の研究の推進方策 |
有限生成とは限らない群 G が, その部分群の族 A に関して相対的双曲性をもつとする. このとき, 族 A を群 G の相対的双曲構造 (relatively hyperbolic structure, RHS と表記する) と呼ぶ.
相対的双曲性をもつ群に対し, その RHS を用いた自由積への分解定理が知られている. しかし, この分解定理は一意的な自由積への分解定理ではない. なぜならば, 一般に相対的双曲性をもつ群の RHS は一つとは限らないからである.
そこで申請者が目指すのは RHS を用いてはこれ以上分解できないという意味で一意的な, 群の自由積への分解定理を得ることである.
そのために, 相対的双曲性をもつ群に対して, そのケーリーグラフ上の（分岐）ランダムウォークを考え, そこから RHS を用いて群の自由積への分解定理を得ることを考えていく.
また, この (分岐) ランダムウォークを用いることによって, 相対的双曲性をもつ群に対して, その境界の様相を調べることも目標とする.
境界の様相を調べることは, (分岐) ランダムウォークが時間を進めるとどのような状態に収束するのかを調べることである. これにより, 相対的双曲性をもつ群の代数的な性質が引き出せるのではないかと考えている. 特に, 分岐ランダムウォークの境界とランダムウォークの境界を比較することにより, 興味深い様々な代数的な性質を引き出すことができるのではないかと考えている.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
子どもがまだ小さいため体調を崩すことが多く, なかなか国内外への出張に行くことができなかった. 実際, 子どもの看病をするために, 計画していた国内出張を土壇場で取りやめたこともあった. 従って, 計画していた旅費をあまり使用することができなかった.
また, 研究環境を整備するため, 色々精査して物品を購入する予定で物品費を計上していた. しかし, 子育てをしながら研究を行っているため, 精査して物品を購入する余裕もあまりなく, 当初の計画通り物品費を使用することができなかった.
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度は子どもも少し成長し, 体調を崩すことが今年度よりも少なくなると予想される. 従って次年度は, 研究に関連するような内容で開催される, 国内外の研究集会, 学会などへ旅費を利用して積極的に参加する予定である.
また, 仕事に費やせる時間も今年度よりも増えると予想されるので, 研究環境を整備するために, 購入する物品を精査する時間も取れると考えている. 従って, 研究室のパソコンを購入するためなどに物品費を使用する予定である.
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