| 研究課題/領域番号 |
15K17539
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
鈴木 咲衣 京都大学, 白眉センター, 特定助教 (40636263)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 結び目理論 / 量子トポロジー / 3次元多様体論 / 単体分割とパッハナー移動 / 普遍量子sl2不変量 |
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| 研究実績の概要 |
結び目と３次元多様体に対する量子不変量の幾何学的な性質を明らかにすることが本研究の目的である。絡み目の量子不変量は、絡み目図式からライデマイスター移動とヤンバクスター方程式を用いて構成される。本研究では昨年度に引き続き、絡み目の普遍量子sl2不変量を補空間の理想単体分割からパッハナー移動と5角関係式を用いて再構成することを試み、今年度はその結果を論文``The universal quantum invariant and colored ideal triangulations"として投稿した。この論文ではさらに普遍量子sl2不変量と絡み目の補空間の八面体分割との関係を明らかにし、普遍量子sl2不変量と体積予想との関わりを示唆した。
上記研究の発展的内容として、東京工業大学の寺嶋 郁二氏との共同研究により、involutoryなホップ代数と単体分割を用いて3次元多様体の不変量を構成した。
これらの研究内容をH27年4月に名古屋大学、6月にIPMU、9月にRIMS、11月に島根大学、12月にストラスブール大学でそれぞれ開催された集会で発表し、微分幾何学や数理物理、作用素環論といった様々な分野の研究者と研究交流を行った。
11月から12月にかけてフランスのパリとストラスブールへ渡航し、海外の研究者と研究交流を行った。パリではJussieu研究所のChristian Blanchetのグループでセミナーに参加し情報交換を行った。ストラスブールではAnderson Veraと議論し共同研究を開始した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
結び目と３次元多様体に対する量子不変量の幾何学的な性質を明らかにすることが本研究の目的であった。そのために、普遍量子不変量と有限型フィルトレーション、グロープフィルトレーション、ザイフェルト曲面、ウェイトシステムの関係を明らかにすることを目標としていたが、早い段階で普遍量子不変量の定義自体を見直すという方向が立ち上がった。すなわち、絡み目図式を経由せず単体分割から不変量を構成しなおせば、3次元的な幾何学的性質がよく見えるのではないかというアイデアであった。それを構成したのが``The universal quantum invariant and colored ideal triangulations"であり、今年度はそれを完成させ投稿した段階である。当初の研究計画と順番は前後したが、普遍量子不変量の単体分割からの構成により、量子不変量の幾何学的な性質を明らかにするという研究目的をより多角的に遂行できる枠組みができたと考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
``The universal quantum invariant and colored ideal triangulations"では絡み目の普遍量子不変量を補空間の理想単体分割から構成しなおした。この構成を、絡み目の補空間に限らず、任意の3次元多様体に対して拡張する。これまでに東京工業大学の寺嶋 郁二氏との共同研究によりinvolutoryなホップ代数に対してはそれができたので、non-involutoryなホップ代数にたいしても一般化を行う。これは研究計画における3次元多様体の量子不変量の幾何学的理解という目的に沿っている。さらに構成した新しい不変量と既存の不変量との関係を明らかにすることで、量子不変量の単体分割を使った幾何学的理解を、先行研究への新たな視点として広げていきたい。
また計画当初の目標であった、普遍量子不変量と有限型フィルトレーション、グロープフィルトレーション、ザイフェルト曲面、ウェイトシステムの関係を明らかにすることも並行して行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
大学内部の研究費により科研費の支出が抑えられたため。
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