| 研究課題/領域番号 |
15K17543
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 微分式系 |
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| 研究実績の概要 |
微分式系(多様体上の接空間の部分束)の理論、田中理論を用いて微分方程式の幾何学的性質を研究した。特に2独立変数1未知関数2階偏微分方程式に対する微分式系の理論を、具体的に与えられた偏微分方程式に応用する研究を行った。
2独立変数1未知関数2階偏微分方程式は双曲型、放物型、楕円型に分類され、モンジュ特性系等の不変量が解の構成等(ダルブー可積分、特性系の解法)に関して重要な役割を果たしており、方程式ごとにそれらの不変量を調べることは重要な問題である。
正規系等の特定の形をした偏微分方程式に対してはモンジュ特性系は具体的に書き表すこと(表現公式)が出来、可積分性を計算により判別できることが知られていたが、一般に対する表現公式は知られていなかった。
そのような中、一般に与えられた偏微分方程式に対するモンジュ方程式の表現公式を与えることに成功した。また、モンジュ特性系以外のいくつかの不変量に対する表現公式も出来た。
上記の結果を得た方法は高階の偏微分方程式に対するモンジュ特性系の表現公式の構成にも応用できることが予想される。つまり、微分式系の幾何学的理論により2独立変数1未知関数2階偏微分方程式の双曲型、放物型、楕円型の概念は2独立変数高階多未知関数偏微分方程式に対しても拡張されることが知られており、それによりモンジュ特性系、ダルブー可積分、特性系の解法の概念も拡張されるが、それらに対する表現公式の存在が予想される。今年度においては具体的ないくつかの方程式に対して予想が正しいことが確認された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は当初の計画通りに進んでいて、研究業績で述べた成果が出ている。
その理由は以下になる。
・研究協力者を訪問し議論を重ねることで研究が進んだ。
・各種研究集会に参加、講演し他講演者、聴講者との議論を通じて有益な助言を得ることが出来た。
・書籍等により本研究に必要な資料、情報を集めることが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の成果を踏まえ以下のことに取り組む。
・モンジュ特性系の表現公式を利用してダルブー可積分性に対する特徴づけを与える。
・高階の偏微分方程式に対しての表現公式を構成する。
・型変化方程式に対しての表現公式を与える。またそれにより、解の構成法を確立する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定より研究が進んだため研究協力者との打ち合わせ回数が当初の予定より少なくなった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
書籍等の資料を充実させる
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