| 研究課題/領域番号 |
15K17543
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 微分式系 |
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| 研究実績の概要 |
微分幾何学における微分式系(多様体上の接空間の部分束)の理論、田中理論を用いて微分方程式の幾何学的研究を行った。特に接触変換(正準微分式系付き2jet空間の間の同型写像)の観点からの研究を行った。古典的な1階偏微分方程式の明示的な接触変換を拡張する形で高階の接触変換はジェット空間の正準微分式系を保存する変換として幾何学的に定式化されているが、その明示的な表示は知られていなかった。それに対し、n変数1未知関数2階のジェット空間に対しその接触変換の明示的な表示に成功した。これは応用として変数変換を行い偏微分方程式を具体的に簡略化する、という視点から見ても非常に重要な結果である。
また、明示的な表示が得られたことによりルジャンドル変換、初等型変換の一般形に当たる接触変換のクラスを見つけることにも成功した。さらにこの結果の応用も行った。2独立変数モンジュ-アンペール方程式は接触変換の下で不変であることが知られていたが、適当な条件下では接触変換で不変な方程式はモンジュ-アンペール方程式に限る事を示した。また一般化されたn独立変数モンジュ-アンペール方程式も2階接触変換で不変であることも明らかにした。さらに微分方程式に対する既約性の概念を定式化し正則性と既約性の対応関係も明らかにした。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は当初の計画通りに進んでいて研究業績で述べた成果がでている。
その理由は以下になる：
・研究協力者の訪問などにより議論を重ねることで研究が進んだ。
・研究集会で講演、参加することにより他講演者、参加者から幅広い助言を受けることで研究が進んだ。
・書籍等により本研究に必要な資料、情報を集めることが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の成果を踏まえて以下に取り組む。
・n独立変数1未知関数2階偏微分方程式に対する接触変換の具体的表示を用いて、
新しい微分方程式のクラスを不変式論の観点から見つける。
・それらのクラスの幾何学的な性質を明らかにする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究が予定より進んだため、予定していた研究協力者との打ち合わせ回数が少なくて済んだ。
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