| 研究実績の概要 |
研究計画に従い,球対称荷重付掛谷極大関数の有界性について研究を進めた.その結果,これまでの研究はreverse Holder classという一般的な枠組みで議論できることを見出し,その有界性を統一的に示すことができた.さらに,n次元における荷重付体積公式を証明することに成功し,Wolff's rangeと呼ばれる高次元における現在の最良の結果の荷重付評価を証明した.このときその不等式評価の最良性に関心がもたれるが,冪型荷重という特別な場合においてのみその評価の最良性を示すことができた.また, reverse Holder classを考察する際,一般の2進立方体で考察した点は新しい視点であると考えられる.
また, Fourier制限問題と関連するSchrodinger方程式の解の平滑化評価について, 平滑化評価の最適定数の別表現を与え, それを実現する臨界関数の特徴づけを得た.これにより,平滑化評価が成り立つための荷重, 伝播関数などに対する十分条件を得ることに成功した.この結果は未解決問題である溝畑-竹内予想に関する新たな特徴づけを与えることもできる点は興味深いものであり,波動方程式への応用について研究を進めている.
本研究は掛谷問題への調和解析の応用であるが, 調和解析におけるMorrey空間の研究は著しい進歩を遂げている.この空間の解析には自然にHausdorff容量の概念が現れ, 非加法的測度の性質を調べる必要がある.この研究についてHausdorff容量を用いたHardy-Littelwoodの極大関数の有界性を示した専攻研究を一般化し,抽象的な2進立方体上で定義された極大関数と,Hausdorff容量を考察し, Hardy-Littlewoodの極大関数の有界性を論じた.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は極大関数の有界性評価の最良性を,冪型荷重という制限を除いたときにどのように示されるかと,荷重理論におけるFourier制限問題と荷重付極大関数との関連を示すことを主たる目的として研究を進める.また来年度の研究計画にあるSchrodinger方程式,波動方程式への研究を進めるため,関連する文献を調査する.
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